Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

322 Свободные и вынужденные колебания стержней

Пример 13. Определить собственные частоты колебаний для рамы, изображеппой па рис. 8, а. Жесткости и массы обоих стержней одинаковы.

Принимаем основную систему по рис. 8, б\					она содержит одну дополни»
тельную связь (против поворота узла рамы).					находим из табл.	15
Задавая угол	поворота 2 1 =	1 (рис.		8, в),
г	а57 (5У — ГС7)	—		б1ш I соз аС —^1п а/ сЪ а[
Г11	С/* — ГС/			1 — соз а/ сЬ Ш
для горизонтального стержня) и
в _	аЕ7 (Г1 - V8)	Е ,		51П а/ зЬ Щ______
Г11	З У — ти	а с *'	зЬ а/сози/ —51'п а/сЬ а/
(для вертикального стержня). Следовательно,
		г	,	в
	г11 = ' 11+г11 =
аЕ^ (зЬ а/ соз а/ — зш а1 сЬ а()* — (1 — соз аI сЬ а/) зЬа/$1п а/.
—	(1 — соз а/-сЬ а/)	(зЬ аI соз а/ — з1п а/ сЬ а/)				’
здесь 5, Г, С/ и V — функции Крылова,			определяем по формулам (26).

		/	•) XГ
	7 ]
а) А	1)	А
	Рис.	8

Система уравнений (92) вырождается в данном случае в одно уравнение ^11*2 1 = 0.

Условие 2 | ф О приводит к частотному уравнению: ги = 0, т. е. з)п* а/ сЬ* аI ■+■зЬ* аI соз* а1 — 4 з!п аI зЬ а/ соз а( сЬ а/ + 2 з1п а/ зЬ а( = 0.

Решая это трансцендентное уравнение, находим первые диа корня (а/)х = 3,393. (а()а = 6,543.

Теперь по формуле (27)		определяем		дие низшие собственные частоты
колебаний
Р;	11,228	1/Е 7	Ра	42,81	\ /	‘ Е ^
	1г	V т ’		Г	Г	/п ’

Вынужденные колебания

Для решения задач о вынужденных колебаниях рам используют систему уравнений (91) в следующем порядке:

а) образуют основную систему введением дополнительных связей 1, 2, . . п;

б) с помощью табл. 15 определяют единичные реакции г возника ющие в дополнительных^ связях системы под действием поочередно накладываемых смещений 2%. При этом величину а определяют по формуле (27), но вместо величины р в формулу нужна подставить кру говую частоту возмущения со;

Колебания рамных систем

323

в) с помощью табл. 46 определяют свободные члены уравнений К1Р как реакции в дополнительных связях, вызываемые заданной внешней нагрузкой;

г) образуют систему уравнений (91), представляющую собой систему алгебраических уравнений относительно неизвестных перемещений 2*;

е)		каждый	из	стержней	рассматривают	под	действием заданной
внешней		нагрузки	и	найденных	выше смещений	2;	на концах. При
этом	определяют		внутренние		усилия в сечениях		(см. указания
в гл.	3,	т. 1).

Пример 14. Определить амплитуды опорных реакций и моментов для рамы, показанной на рас. 9, а. Жесткости и массы обоих стержней одина ковые.

а) г А ,		Ю
		Рис. 9
Основная система показана на рпс. в, б.
Единичная реакция,	найденная а предыдущем примере,
а Е ^	[<5У -	П /) =■+■О ' 2 — У 2 ) ( 1 Г ‘ - ГС/)]

щ- —ти) (зу —тсп

„р

2а

Уравнение для определения амплитуды неизвестного угла поворота 2г

аЕ^ [(5У — ТУ)2+ (Тл -	Vя) (У2 - Ш)]	Р
( и ^ — ТП) [ЗУ -	Т1Г)	1 2а

‘ 5„тп- и пуп

Решая уравнепне, находим

				2 ' ~	Р	аЕ^ [(5Р — 7С7)1 -Н (Тл — Vя) (I/* —ТС/)]
					4а*Е^		<{/в —71/) (5У — ТУ)
	Рассматривая каждый					из	стержней по схеме,		показанной		на ряс. 9, б,
строят эпюру					моментов.	выше выражениях функции Крылова 5, Т, I], V
	Во всех приведенных
вычисляют при					значении		4/		I* 0 функции		Крылова
						аргумента а / = т /
Т	V		V	_ — при значении			а/	V то*		I	где са — за-
		м					аргумента —— —1/		-=-=-•
О9				«			2»	§	СУ

данная частота возмущающей силы.

324 Свободные и вынужденные колебания стержней

КРИТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ОБОРОТОВ ВАЛОВ

Вал с одним диском

При вращении вала, несущего несбалансированный диск, ось вала под действием центробежной силы прогибается и совершает прецес сионное движение, описывая некоторую поверхность вращения. С уве личением угловой скорости прогибы оси возрастают и становятся особенно значительными с приближением угловой скорости к некоторому определенному (критическому) значению; ^ротвех^ву^^щее число обо ротов также называют критическим. При дальнейшем увеличении угло вой скорости сверх критического значения прогибы оси вала вновь

е6

-3

Рис. 10

Рис. 11

уменьшаются и центр тяжести диска все больше приближается к оси вращения; последнее явление называют самоцентрированием диска.

Изменение прогибов оси вала в сечении, с которым связан диск,

взависимости от угловой скорости вращения показано на рис. 10. Прогиб вала определяют по формуле

-------5-51— > (94)

гдее0 — начальный эксцентрицитет; со — угловая скорость вала; Фкр— критическая угловая скорость.

Гибкими называют валы, рабочее число оборотов которых превосхо дит критическое число. Если срединная плоскость диска не меняет свою ориентацию при вращении вала (рис. И), то критическая угловая скорость (йкр точно равна круговой частоте р свободных поперечных колебаний системы и для двухопорного вала с диском посередине опре

деляется формулой	__
«" = 7	- / ^ ’	(95)

в которой	ЕЗ — изгибная жесткость сечения	вала; I — его	длина;
т — масса	диска. Коэффициент к зависит от	защемляющих	свойств

Критические <сисла оборотов валов

325

подшипников. Если подшипники не препятствуют повороту касатель ной к оси вала, то к — 6,93; в случаях, когда подшипники создают полное защемление концов оси пала, к = 13,85.

Критическую угловую скорость вращения можно приближенно счи тать равной собственной частоте поперечных колебаний вала и в тех случаях, когда плоскость диска поворачивается при прецессии вала (рис. 12), но при условии, что радиус инерции диска не слишком велик

^ - у - < 0 ,2 ^ . Если это условие выполнено, то можно пользоваться

формулой (95), полагая в ней (оК = р и принимая выражения собствен ной частоты по табл. 10, гл. 4 в зависимости от схемы вала. Если радиус инерции диска велик, то следует пользоваться способом расчета, ука

занным		на стр.	326—327.
Критическое			состояние наступает нс
только при главной (основной) критиче
ской	угловой скорости <йкР,			но также и		----------------------------------
			1		послед-			\
при угловой скорости (1)= -^ -						гггггг.
тою	называют		критической		скоростью
второго		порядка. Заметное		возрастание		р»с.	12
прогибов вала при критической					скорости

второго порядка происходит вследствие двух причин: 1) неодинаковости изгибиых жесткостей вала в двух главных плоскостях; 2) действия веса вала (при горизонтальном расположении его оси). Если жесткости вала сг и с2 в Двух главных плоскостях существенно различаются, то критические состояния имеют место во всем интервале угловых скоростей

ОТ (!>! =

Гироскопический эффект

В несимметричных схемах, когда срединная плоскость диска меняет свою ориентацию при вращении вала (см., например, рис. 12), возникает гироскопический эффект и критическая угловая скорость изменяется.

Это изменение различно в зависимости от того, какой тип прецессии имеет место при вращении вала: прямая прецессия (рис. 13, а) или обрат ная прецессия (рис, 13, б). При прямой прецессии изогнутая ось вала вращается в одну сторону с диском (см. 1—1У на рис. 13, а). При обрат ной прецессии эти направления противоположны. Основным следует

326 Свободные и вынужденные колебания стержней

считать случай прямой синхронной прецессии, когда угловая скорость изогнутой оси вала вокруг прямой, проходящей через центры подшип ников, совпадает с угловой скоростью диска; ниже имеется в виду только этот случай.

Если диск имеет относительно небольшую толщину, то критическую угловую скорость определяют из уравнения

»16Р - - 'А <	ц2	(96)
+		(96)
т ' . ( М л < - 62м)		(брФм — в**)

где У* — момент инерции диска относительно одного из его диаметров; т — масса диска; бр, срр — прогиб и угол поворота сечения, в котором расположен диск, под действием силы Р= 1; б д ^ ф ф д ^ —те же пере

мещения,	но определяемые от действия изгибающего момента Ж = 1.
2	Для консольного вала (рис. 12)

л	л - Л . .
° Р ~ Ъ Р . П	9Р.7 *
'ЗЕУ’	2Е^'
I2	=	(97)
^ ~ 2Е^ ’	=	(97)

и из уравнения (96) вновь получаем

формулу	(95), в которой
	/2= 6 -	- +
+ / (	6 - - § - ) ! + Т Г ’		(98)
причем	О = •/*
	О = •/*		(99)
	тГ- *

Зависимость параметра к от величины О показана на рис. 14. При И = 0 гироскопический эффект полностью отсутствует; при I) = оо диск имеет бесконечно большую инерцию поворота, его плоскость не поворачивается и вал изгибается так, как если бы на его правом конце была жесткая заделка, не препятствующая вертикальным смещениям.

Если диск нельзя считать весьма тонким, то в приведенные выше выражения вместо момента инерции У* следует подставлять

У* = Л — *^2.

(109)

где Ух — момент инерции диска относительно центральной оси, пер пендикулярной к срединной плоскости диска; У2 — момент инер ции диска относительно центральной оси, лежащей в его срединной плоскости.

Так, в случае, когда диск представляет собой однородный круглый цилиндр высотой Ь и диаметром А,

,	тй2 ш .	т&2 тЬ- # .	тй2	тЪг	(101)
1	8~» 2 “	“Й Г ^ -П Г ’ ^	“ 1 б	24~*

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009