Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

408				Колебания пластинок
величины	ие	превышает			единицы,	то	можно считать,			что	влия
ние последнего			члена	в формуле (47) оценивается множителем
ехр \| —	(б? +	2*1)"^.		Пусть х, =		Я,,	где	Ц =	—длина полу-
волны	порождающего				решения.	Тогда		при	кг =	/г2	имеем
е—л VI _ о(оо42.			Даже	в	самом неблагоприятном				случае (Л2 = 0)

получаем е~л =0,0432. Следовательно, ширина области динамиче ского краевого эффекта не превышает длины полуволны.

Условия склеивания. Для каждой стороны пластинки можно по строить решения типа (47). Удовлетворяя соответствующим граничным условиям, можно выразить постоянные С и фазы | через волновые числа кх и к2. Требование, чтобы с точностью до динамических краевых эффектов все четыре решения совпадали, сводится к условию, чтобы фазовые постоянные, найденные для двух противоположных сторон, отличались на число, кратное л. Это дает условия склеивания

М 1 =	агс*е «ц (ки	к2) +	агс!д ии (к1г к2) +	т хя;
к2а2 =	агс[§ и21 (ки	к2) +	агс1§ г/22 (Л1г к2) +	(48)
				пия,

где тх, т о — целые числа или нуль. Функции иа$ (кх, к 2) равны тан генсам фазовых постоянных | а, найденных из граничных условий лга = 0 и ха = аа соответственно, и, следовательно, зависят только от гранич ных условий. Если на контуре пластинки до = 0, а функции агс1{* ф понимают в смысле главных значений, то числа тг и т2 пробегают все положительные целые значения, упорядочивая так спектр собствен ных частот. Значения тг = т2 = 1 соответствуют при этом основной форме колебаний. В случае, если одна или несколько сторон пластинки свободны или упруго оперты, то для определения чисел тх и /п2, соот ветствующих основной частоте, требуется дополнительное исследова ние. Следует иметь в виду, что асимптотический метод пригоден, вообще говоря, лишь для достаточно высоких форм колебаний.

В качестве примера вычислим функцию ии = Рх {кг, к 2) для заде

ланного	края, взяв для определенности сторону х1 = 0. Условия для
функции	XV (хх) имеют	вид	XV(0) = XV' (0) = 0. Подставляя сюда
выражение (47), можно		найти систему двух уравнений
		51П	— С = 0;

*1 С05 А ,|, — (*2 + 2А|) 2 С = 0;

отсюда

<8*111=	------- ^ -----	г ; С =	*1
	(* !+ 2 А = )~		2 2

16. Ф у н к ц и и / ,1 (Лх. Ла) и п о с т о я н н ы е С п р и р а з л и ч н ы х г р а н и ч н ы х у с л о в и я х н а к р а ю хг= 0

пластинок расчету к метода асимптотического Применение

409

410

Продолжение табл. 16

Колебания пластинок

Итак,

Р1 (ад ад =

--------------—

г -

(49)

(*1 + 2*г) 2

Формулы для функ ции (к1%к2) и постоян ной С при различных ти пах закрепления стороны *1=0 приведены в табл. 16.

Пластинка, защемлен ная по контуру. Исполь зуя табл. 16 и услсвия склеивания (48), можно найти собственные часто ты и формы колебаний для большого класса прямо угольных в плане пласти нок. Пусть прямоуголь ная пластинка со сторо нами а1 и а2 защемлена по всему контуру [5]. Точного решения этой за дачи не получено. Имеют ся приближенные резуль таты для основной ча стоты, полученные вариа ционными методами. Для квадратной пластинки наиболее надежные ре зультаты получены Игути [30], который искал ре шение дифференциального уравнения (42) в виде раз ложения по функциям, удовлетворяющим всем условиям на контуре (см. стр. 379—380). Для вычи слений Игути брал шесть членов ряда; поэтому его результаты, особенно в области низших частот, обладают большой точ ностью. Используем реше ние Игути в качестве эта лона для оценки эффекти вности асимптотического метода.

Применение асимптотического метода к расчету пластинок 411

Условия склеивания (48) с учетом формул (49) имеют вид

(*? + 2кЬ 2		(50)

(*] Ч- 2А[) -
Семейства кривых (50) для случая	= а2 представлены на рис. 10.

Жирные линии соответствуют пластинке, защемленной по контуру,

тонкие линии — опертой пластинке.							Арктангенсы	в уравнениях (50)
понимают в смысле глав
ных значений. При этом
волновые числа /гх и к*у
соответствующие						значе
ниям ш1 =			т 2=		I*	будут
несколько			больше, чем
—	и —			Естественно
а\	ач			уравнения
ожидать,		что
(50)	при	т1= т 2= 1				дают
приближенное					значение
основной частоты. Это под
тверждается				анализом
форм колебаний. Следова
тельно, корни				уравнений
(50)	при	ш1 ^ 0 ,			м 2г^0
являются лишними и дол
жны быть отброшены.
Невязка				склеивания				Те
характеризуется						значе-
ниями		корректирующих					Рнс'	0
решений		в	центре			пла-
стинки. Кривые,					соответ			на рис. 10нанесены
ствующие невязкам						(е=5% , 1%, 0,1% и 0,01%),

штриховыми линиями. Из чертежа видно, что невязка склеивания при определении основной формы колебаний не превышает 5% и что лишь первые три формы колебаний склеиваются с невязкой порядка 1%.

Для некоторых частных случаев система уравнений (50) допускает решение в конечном виде. Например, при колебаниях стержня длиной а или при цилиндрическом изгибе пластинки (к2 ->■ 0) первое уравнение

дает
Подставляя в формулу	(44),	получим
1	\ 3 ,	1

412 Колебания пластинок

Эта формула, дающая даже для основной частоты погрешность менее 1%, была получена еще Рэлеем из анализа точного решения задачи о ко

лебаниях		защемленного		стержня.						а),	ко
Для	тех форм колебаний квадратной пластины (а± = а ? =									а),	ко
торым	соответствует т± = /л2 = т, точное							решение	уравнений		(50)
имеет вид
				ка
отсюда	по	формуле	(44)	найдем
					ш		1
		со =					т
							(т	= 1, 2,	. . .).
							(т	= 1, 2,	. . .).
При значениях /лх Ф тг решения уравнений (50) могут быть найдены
по методу последовательных приближений [5, 6 ]. Численные резуль
таты представлены в табл.				17. Величина невязки склеивания в табл. 17
	17. Коэффициент			частоты о для квадратной пластинки,
	защемленной		по контуру. Сравнение с результатами Игутм
							1
				<	Я*(й	{ й
				<		>РЛ/
						>РЛ/
			к{й 1		к2ал		са		Расхо	Невязка
			к{й 1		к2ал		Асимп	По дан	Расхо	Невязка
			Я		я		тотиче	По дан	ждение	склеива
			Я		я		ский	ным	в %	ния в %
							метод	Игути
1		1	4/3		4/3		3,556	3,646	2,53	2,66
1		2	1,2027		2,4372		7,386	7,437	0,69	0,93
2		2	7/3		7/3		10,889	10,965	0,70	0,18
1		3	1,1420		3,4688		13,337	13,393	0,42	0,24
2		3	2,2556		3,4012		16,656	16,717	0,37	0,07
3		3	10/3		10/3		22,222	—	—	0,01
1		4	1,1084		4,4816		21,313	—	—	0,05
2		4	2,2038		4,4366		24,540	24,631	0,36	0,02
3		4	3,2784		4,3832		29,960	—	—	0,00
4		4	13/3		13/3		37,556			0,00
вычислена с учетом формулы (47). При сопоставлении результатов											не
обходимо иметь в виду, что значения, полученные Игути, завышены,

а погрешность примененного им метода возрастает с ростом волновых чисел. Заметим, что ряд высших частот был квалифицирован Игути ошибочно (они были приписаны не тем формам колебаний, которым они в действительности соответствуют); в табл. 17 это исправлено. Резуль

таты вычисления	[5]	первых		16 частот и форм колебаний для прямо
угольной пластинки		при	а2 =	2ах и в4 = 4ах приведены	в табл. 18.
Коэффициенты частоты а для других отношений г =					могут быть
взяты по графику	на	рис.	11.	Частоту свободных колебаний <о опре
деляют затем по	формуле

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009