Применение асимптотического метода к расчету пластинок 413
18.Коэффициент частоты а для первых 16 форм колебаний
защемленной пластинки
1
- ^ = 4 |
- ^ - = 2 |
«1 |
« 1 |
т 1 |
ш , |
|
|
|
|
|
|
|
|
М | |
&аД2 |
а |
М е |
/г«а г |
а |
|
|
я |
я |
Я |
я |
||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
1,51 |
1,08 |
2,350 |
1,45 |
1,17 |
2,441 |
1 |
2 |
1,46 |
2.29 |
2,426 |
1,36 |
2,3 0 |
3,181 |
1 |
3 |
1,42 |
з;гз |
2,667 |
1,28 |
3,38 |
4 ,4 9 4 |
4 |
1,38 |
4,3 0 |
3,041 |
1,22 |
4 ,42 |
6 ,3 8 3 |
|
2 |
1 |
2,4 9 |
1,05 |
6,299 |
2,4 9 |
1,10 |
6 ,4 7 7 |
2 |
2 |
2,4 9 |
2,09 |
6,454 |
2,4 4 |
2,19 |
7,184 |
2 |
3 |
2 ,47 |
3 ,13 |
6,711 |
2,40 |
3,26 |
8,4 0 0 |
2 |
4 |
2,4 4 |
4,2 9 |
7 ,089 |
2,33 |
4 ,3 5 |
10,150 |
3 |
1 |
3,5 7 |
1,03 |
12,320 |
3,5 0 |
1,06 |
12,470 |
3 |
2 |
3,60 |
2 ,07 |
12,460 |
3,4 7 |
2,13 |
13,185 |
3 |
3 |
3,49 |
3,1 0 |
12,740 |
3,41 |
3,19 |
14,400 |
3 |
4 |
3 ,47 |
4 ,1 3 |
13,152 |
3,42 |
4,24 |
15,854 |
4 |
1 |
4 ,5 0 |
1,03 |
2 0 ,2 9 8 |
4,4 9 |
1,05 |
2 0 ,4 6 9 |
4 |
2 |
4 ,4 9 |
2,05 |
2 0 ,467 |
4,4 9 |
2,12 |
21 ,1 9 4 |
4 |
3 |
4,4 9 |
3,08 |
20,7 42 |
4,4 7 |
3,14 |
2 3 ,4 0 7 |
4 |
4 |
4 ,49 |
4,11 |
2 1 ,1 5 9 |
4,46 |
4 ,20 |
2 4 ,1 1 5 |
414 Колебания пластинок,
Другие случаи опорного закрепления. Пусть пластинка по краям
х± = о и х2 = 0 защемлена, а по краям х1 = ах и х2 = |
аа шарнирно |
||||||
оперта (рис. 12, в). Тогда аналогично |
предыдущему |
|
|||||
|
М г = |
агс*д-------—------ + |
тхл\ |
|
|||
|
|
(*? + 2 ^ ) 2 |
|
|
|||
|
Л2а2 = |
агс!& |
кг |
|
_1 ■+ |
тгп. |
|
|
|
а2\ |
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(4 + 2 /4 ) |
|
|
|
||
Основной |
частоте соответствует |
= |
т 3 = |
1 (если |
берут главное |
||
значение арктангенса). При аг = |
аг = |
а, |
т1 = |
тг решение будет |
|||
|
|
ка= (^т + |
|
л. |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
- |
_ 2»’ ( " + т ) |
|
|
(т = 1, 2, . . . ) . |
|||
|
|
- |
ш |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Разница между частотой, найденной по этой формуле, и частотой, определенной вариационным методом Ритца, при т — I состав ляет 0,86%.
'М///////У///.
|
|
( \/о « |
% |
) |
> |
* ( |
||
у //////////) |
|
|
Рис. 12
Значения основных частот колебаний для четырех случаев опорного закрепления (рис. 12), вычисленных асимптотическим методом и мето дом Ритца, приведены в табл. 19. Параметры первых шести частот
19. Основные частоты колебаний квадратной пластинки
|
|
1 |
|
|
Вид закрепления |
пЧа |
|
Расхождение |
|
Асимптотический |
Метод Ритца |
|||
показан иа рис. 12 |
в % |
|||
|
метод |
|
|
|
а |
31,37 |
31,96 |
1,88 |
|
С |
28,92 |
28,99 |
0,24 |
|
в |
26,87 |
27,10 |
0,86 |
|
г |
23,64 |
23,70 |
0.25 |
Применение асимптотического метода к расчету пластинок 415
и форм колебаний даны в табл. 20. В случаях, показанных на рис. 12, б
нг, точное решение легко строится в классе элементарных функций, но оно весьма громоздко по сравнению с асимптотическим решением.
Частоты и формы свободных колебаний прямоугольной пластинки, свободной по контуру, были изучены при помощи асимптотического метода Е, П, Кудрявцевым [14]. Он же рассмотрел колебания пла стинки, окаймленной упругими ребрами. Пластинка, упруго закреплен ная по контуру, была рассмотрена в статье [5]. Для случая, когда коэф-
20. Коэффициент частоты для четырех случаев опиракня кпадратноЛ пластинки
1
|
|
Рис. 12, а |
Рис. 12, 6 |
Рис. 12, в |
Рис. 12, г |
||||||||
т , т г |
Л |
Л |
|
я |
Л |
(1 |
Л |
л |
|
Л |
я |
|
|
|
|
А,а |
к г а |
|
/г,я |
к2а |
к ха |
к . а |
|
к ха |
к . а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
0,869 |
0,734 |
3,178 |
0,720 |
1,000 |
2,929 |
0,857 |
0,857 |
2,722 |
0,847 |
1,000 |
2,395 |
г |
2 |
0,924 |
0,408 |
7,174 |
0,805 |
0,500 |
5,542 |
0,907 |
0,451 |
6,133 |
0,900 |
0,500 |
5,234 |
2 |
2 |
0,463 |
0,426 |
10,166 |
0,423 |
0,500 |
9,580 |
0,462 |
0,462 |
9,389 |
0,460 |
0,500 |
8,726 |
1 |
3 |
0,935 |
0,288 |
13,191 |
0,859 |
0,333 |
10,355 |
0,927 |
0,309 |
11,600 |
0,932 |
0,333 |
10,151 |
2 |
3 |
0,471 |
0,293 |
16,114 |
0,439 |
0,333 |
14,200 |
0,470 |
0,313 |
14,778 |
0,469 |
0,333 |
13.549 |
3 |
3 |
0,316 |
0.299 |
21,160 |
0,198 |
0,333 |
20,230 |
0,316 |
0,316 |
20.055 |
0,315 |
0,333 |
19.050 |
416 |
К о л еб а н и я п л а с т и н о к |
фнциенты упругости защемления с для всех четырех сторон одинаковы, условия склеивания (48) принимают вид
|
|
кхах= 2агс*§----------------- |
|
|
|
—----------------- ^ + |
т^щ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Щ- (^1 + Лг) + |
+ 2к1) 2 |
|
|
|||||||
|
|
к2а2 = 2агс1б ----------------- |
|
|
|
—----------------- ^ + |
шал. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Т « + 4 ) + « + * « Т |
|
|
||||||||
|
Результаты |
вычислений |
десяти |
частот для |
|
квадратной |
пластинки |
||||||||
со сторонами а± = а2 = а показаны на рис. |
13. |
Через с* |
обозначен |
||||||||||||
безразмерный |
коэффициент |
защемления: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
са |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С* “ |
2 0 ' |
|
|
|
|
|
||
|
При с* -> 0 получаем шарнирно опертую пластинку; при с* -> оо |
||||||||||||||
получаем жестко защемленную пластинку. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
|
|||
и |
1. |
А м б а р ц у м я н |
С. |
А., |
Х а ч а т р я н |
|
А. |
А. |
Об устойчивости |
||||||
колебаниях анизотропных |
пластинок. «Изв. АН |
СССР, |
ОТН, |
«Механика |
|||||||||||
н |
машиностроение!, |
№ |
1, |
1960. |
|
|
|
|
собственных |
колебаний |
|||||
|
2. |
А н а н ь е в |
И. В. Справочник по расчету |
||||||||||||
упругих систем. М., |
Гостехнздат, |
1946. |
Колебания |
пластин |
переменной |
||||||||||
|
3. |
Б е л о ц е р к о в с к и й |
И. |
Я. |
|||||||||||
жесткости. Труды конференции по теории |
пластин |
и оболочек. Киев, Изд-во |
|||||||||||||
АН УССР, 1962. |
В. |
В. |
Краевой |
эффект при |
колебаниях упругих обо* |
||||||||||
|
4. |
Б о л о т и н |
|||||||||||||
лочек. |
ППМ, т. 24, |
Из |
5, |
1960. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. |
Б о л о т и н |
В. |
В. и др. Асимптотический метод исследования спектра |
|||||||||||
собственных частот упругих пластинок. Сб. «Расчеты на прочность». Вып. 6. М., Машщз, 1960.
6. Б о л о т и н |
В. В. |
Динамический краевой эффект при колебаниях |
упругих пластинок. |
Инженерный сборник, т. 31, 1961. |
|
7. Б о л о т и н |
В. В. |
Асимптотический метод исследования задач о соб |
ственных значениях для прямоугольных областей. Сб. «Проблемы механики
сплошной среды». |
Изд-во |
АН СССР, 1961. |
8. Б о л о т и |
и В. В. |
Асимптотический метод в теории колебаний упру |
гих пластин и оболочек. Труды Всесоюзной конференции по теории пластин
ноболочек. Казань. КФАИ СССР, 1961.
9.Б о л о т и н В. В. Обобщение асимптотического метода решения задач
о собственных значениях для прямоугольных областей. Инженерный жур нал. 1961, № 2.
10.Г о н т ке в и ч В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. Киев, «Наукова Думка». 1964.
11.Г у ме и ю к В. С. Определение частот свободных колебаний пла
стинок переменной толщины. Доклады АН УССР, № 1, 1956.
12. |
Д у б и н к и н |
М. |
В. |
Колебания плит с учетом инерции |
вращения |
|||
и сдвига. «Изв. АН СССР, |
ОТН», 1958, |
№ 12. |
|
|
||||
13- |
К о л л а т ц |
Л. |
Численные |
методы решения дифференциальных |
||||
уравнений. М., |
ИЛ, 1953. |
|
Е. П. |
Применение |
асимптотического метода для |
|||
14. |
К у д р я в ц е в |
|||||||
исследования |
собственных |
колебаний |
упругих |
прямоугольных |
пластин. |
|||
Сб. «Расчеты на прочность». Вып. 10. М., «Машиностроение». 1964.
|
|
Литература |
417 |
|
15. М о с к а л е н к о |
В. II. К применению уточненных теорий изгиба |
|||
пластинок о задаче о собстоснных колебаниях. «Инженерный журнал», |
т. 1, |
|||
1961. № 3. |
В. Н. |
Собственные колебания трехслойиых |
пла* |
|
16. М о с к а л е и к о |
||||
стин, прямоугольных в плане. Труды IV Всесоюзной конференции по теории |
||||
оболочек и пластин. Ереван, |
Изд-во АН Армянской ССР, 1964. |
коле |
||
17. М о с к а л с н к о |
В. |
Н., |
Ч е и - д э - Л к н. О собственных |
|
баниях многопролстиых неразрезных пластинок. Прикладная механика, т. 1,
№ |
3, 1965. |
Е. |
С. |
Динамический |
расчет несущих |
конструкций. |
||
М., |
18. |
С о р о к и н |
||||||
Стройиздат, 1956. |
|
С. |
П. Устойчивость упругих систем. |
М., Гостех- |
||||
|
19. |
Т и м о ш е и к о |
||||||
нздат. |
1955. |
А. П. Колебания механических систем. Киев, |
«Нау- |
|||||
|
20. |
Ф и л и п п о » |
||||||
кова Думка». 1965. |
В. \\г. УШгаНоп оЕ 1пап#и1аг сапШеуег |
рЫез |
Ьу ЕЬе |
|||||
|
2 1. А п с1 е г 5 с п |
|||||||
К11г теЕйоб. Лоигп. Арр1. |
Месй., уо1. 21, |
п. 4, 1954. |
|
|
||||
22.В а г 1 о п М. V. У1ЬгаИоп о! гесЕалди1аг апб $ке\у сапШеуег р1аЕез. Лоигп. Арр1. Месй., уо1. 18. п. 1, 1951.
23.В о I о 11 п V. V. У1ЬгаНоп оЕ 1аусгеб с1азЕ1с рЫез. Ргос. у!Ьг. ргоЫ., уо1. 4. п. 4, 1963.
24. |
В о 1 о (1 п V. V. Тйс бспзИу оЕ е1делуа1иез 1п |
у1ЬгаИоп |
ргоЫетз |
||||
о! е1аз11с р1аЕез апс! зйеНз. Ргос. у!Ьг. ргоЫ.. уо1. 6, |
п. 4, |
1965. |
1п |
е1азЕ1с |
|||
25. |
В и с Нчу а 1б |
V. Т. Ьо\у Егециепсу оЕ |
Псхига1 у1ЬгаНопз |
||||
р1а!ез. |
<ЭиагЕ. Л. Месй. Арр1. МаЕН., уо1. 12, п. 4, |
1959. |
|
|
Тгап5- |
||
26. |
С а б а т Ь е |
V.. К и т а г а з \ у а т 1 |
М., |
К а и I Р. К., |
|||
усгзе у1ЬгаПоп5 оЕ 1Ып сапЕПеУег р1аЕез о! Егарего1ба1 апб Епапди1аг р!ап Еогш.
Лоигп. |
1пзЕ. |
ЕПВГ5 |
оЕ |
1пс11а. п. 5, |
1956. |
|
|
Епапди1аг |
сапН- |
|||
27. |
С Ь г I з | е п 5 е п |
К. М. У1ЪгаЕ1оп о! а 45° гЦ»йЕ |
||||||||||
1еуег рЫе Ьу а дпб\уогк теЕйоб. А1АА Лоигп., уо1. 1, п. 8, 1963. |
1йгег |
|||||||||||
28. |
Е з с й 1е г |
Н. |
2 иг ЕгппЕЕ1илд бег |
Е^епзсйу/тлдипдеп бег 1п |
||||||||
М111е1еЬепе Ъе1аз1еЕеп |
РесйЕескр1аЕЕе. 1пд. — Агсй1у, Вб 18, |
Н. |
5, 1950. |
|||||||||
29. |
Ни |
N а п • С Ь и, |
Н е г г ш а п п |
О. |
Ргее Пехига1 |
У1‘ЬгаНоп5 о! |
||||||
гесЕапди1аг е1а$Ис рЫез. |
Лоигп. Арр1. Месй., |
уо1. 23, п. 4. |
1956. |
|
||||||||
30. |
I е и с й 1 |
5. |
|
В1еее5сйзд’1пвипдеп ипб К1апдЕ1дигеп бег у1егзе1Е1д |
||||||||
е1пдезраппЕеп |
гесйЕеск!деп |
Р1аЕЕе. 1пд.— АгсЫу, |
Вб 8, Н. |
1, |
1937. |
|
||||||
31. |
I в и с й 1 |
5. |
01е Ецгепзсй^пвипвеп ипб К1апдЕ1дигеп бег у!ег5сШб |
|||||||||
1ге1еп гесйЕеск!деп Р1аЕЕе. 1пд. —АгсЫу, Вб 21, Н. 5—6, 1953. |
|
|
||||||||||
32. |
К а и 1 Р. К-, |
С а б а ш Ь е |
V, Тйе па(ига1 Егеяиепс1ез оЕ 1йш зке\У |
|||||||||
р1аЕсз. |
Аегоп. |
С?иагЕ., |
уо1. |
74, п. 3, |
1956. |
|
|
|
|
|
||
33.К 1е 1 п В. РипбатспЫ Егечиспс1е$ о! агЫЕгагИу зйареб з1шр1у зиррогЕеб Ег1апди1аг р1аЕез оЕ агЫЕгагу р1ап Еогш. Лоигп. Поу. Аегоп. Зое., уо1. 60, п. 544, 1956.
34.М 1 п б 1 1 п К. О. 1п11испсе оЕ гоЕаЕогу 1пегПа апб зйеаг оп Е1ехига1
тоЕ1оп оЕ 1зо1гор1с е1а5Е1с р!аЕс$. Лоигп. Арр1. Месй., уо1. 18, п. 1, 1951. 35. О б т а п 3. Т. А. $Еиб1ез оЕ Ъоипбагу уа1ие ргоЫеш?, рагЕ II, Сйа-
гасЕег1зЕ1с ЕипсНопз оЕ гес1апди1аг рЫез, Зу. Рогзк. |
1пзЕ. Еог сет. агей. ЬеЕ.. |
|
31оскйо1т, 1955. |
Оп (йе Егапзуегзе у!ЬгаНоп оЕ ап еШрЕ1с р1а!е |
|
36. 3 й 1Ь а о к а С. |
||
\у1ЕЬ с1атрсб ебде. Лоигп. |
Рйуз. Зое. Ларап, уо1. II, |
п. 7, 1956. |