Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Глава 8

КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

Общие уравнения теории тонких упругих оболочек для динамического

случая. Пусть оболочка отнесена к ортогональной

системе

коорди­

нат х1%х2, х3 с коэффициентами Ламе Нг, Нг, Я8 =

1 (рис. .1),

причем

координатные линии на срединной поверхности

(хх- и х2- линии)

совпадают с линиями главных кривизн с радиусами кривизны К1 и Тогда в рамках гипотез Кирхгофа-Лява дифференциальные уравнения колебаний оболочки будут иметь вид

Я Л

I.

дх1

(?1 .

 

. д*их

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я Л

I

дхг

"

дх2

 

.

11

дх2

 

81 дхх ]

 

 

 

 

<Эг

,

 

д2ио

 

 

 

 

 

 

1

г а (ад)

 

э (ад) -I

 

 

 

 

а

д

|.

дх,

т

 

дх2

]

' г

 

 

 

,

 

 

 

йз

=

_ пЛ^ ш .

(1)

 

 

*

/?1

+

 

 

рЛ д<а

’

 

 

 

1

[ д(Ми Нг) д(М21Н1)

 

 

 

 

Я Л

I.

дхг

 

"1~

дх2

 

 

 

 

■

га(М )

 

 

 

 

 

 

 

 

Я]ГЛ

I

дхх

^

дх2

 

 

11

дх2^

 

 

 

А/,

 

 

Г

I

^ 2 1

_ д

 

 

 

 

 

/У^-- ” 21------^

 

^

 

 

 

где #1 и # 2 — параметры Лам

Дифференциальные уравнения колебаний оболочек

419*

Связь усилий в срединной поверхности УУП, ЛЛ>2, /У12> УУ21 и момен­ тов Ми , /И12) М12 = М21 с деформациями срединной поверхности еп ,

е22, е12 =

е21 и изменениями кривизн хш х22, Х|2 = кп определяется

в случае

изотропной оболочки следующими формулами:

..

 

Ек ,

.

х

И гг =

у— ^ 2 (еп

■+■ уегг)'

 

 

Ек

 

 

 

=

| __ уЧ ^Б22

+ У8и)»

N„ =

 

ЯЛ

ла

«12 \

1+ V(«и

12'«2 У

*« =

Ек

к2

«12 \

И-г ^Е12

12

 

Ми = О (хи +

Vx22);

УИ22 — Э (х22 -{- “УХ!!);

М12= Я (1 — у)х1а.

 

Эти выражения удовлетворяют шестому уравнению системы (1) н дополнительным условиям, связанным с обоснованием энергетических принципов.

Компоненты деформации и изменений кривизн срединной поверх­

ности можно

выразить

через

компоненты смещения

и1} и2, и3 = ш:

 

 

 

1

д “ г

,

 

1

ЗНл

.

XV

1

е

а

~ ~ Н [ '

Ас*

'

Н ХН Ь

 

 

 

 

 

 

 

1

_ а ^

 

 

1

дН2

,

дои

О)

е

м

_

Ж

а'* ,

т

Л

, / / 8

Ас,

 

 

 

1

 

Г Й 1

аддга

\

 

г ) +

1 г ' з | - ( ж

' ) ] ;

~

 

2

| . Я

И

420

Колебания оболочек

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

дт

 

 

 

 

 

 

 

*и “

77Г■*(

//1

’ дхх

 

ю

 

+

 

 

 

 

.

 

 

1

 

ая,

( ± _

 

ди)

 

и2

\ .

 

 

 

 

1 Я,Яг

а*„

1\ Н Л*дх2

 

К г ) 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

дш

 

*)+

 

 

 

*гг“

я7

а*, \ я2 *дх2

 

 

 

 

 

т

 

я,я2

ая*,<А _

 

дш

 

_!М.

 

 

 

 

 

<&!

1

*дх2

1

Я . ) ’

 

 

 

_

 

 

1

 

Г

 

 

дНг

/

дХ|

л

\ _

 

 

”

я,#2

[дх1дх2

дх2

\ Н 1

л , ;

 

 

/

1

 

ддо

Щ. \

 

н г ва*,__ Яг_.

 

 

 

VНг

 

дх2

К2 )

/?1 ’ дх2

/?а

 

Углы поворота определяют по формулам

 

 

 

 

 

й

_

1

 

дхю

«!

’

 

д

_

1

дно

ио

 

1

Я ,

' дхг

 

Кг

 

2

“

Я2

*ж

 

- - *

- '

Потенциальная

энергия деформации оболочки

 

 

 

^ =

1

1

 

[

 

(

е11 +

^ г ) 2 — 2 (1 — V) ( е п 822 — е22)] +

+ Я [(*ц + Х22)2 — 2 (1 — V) (нцХзз — >4)] | НХН2 йхх йх2.

Кинетическая энергия

7' & " т И РА [ ( ^ " ) + ( ' ж ) + ( ж ' ) 2]

(4)

(5)

(6)

(7)

Классификация граничных условий. На каждом краю оболочки мо­ жет быть задан один из 16 видов однородных граничных условий. Эти виды для края хх = сопз! определяются всеми возможными комбина­ циями следующих четырех условий (табл. 1):

а; = 0

$1 +

1

дМ1г

-

я,

а*2

 

 

о II о

или

Л 4 „= 0 ;

 

 

«1 = 0

или

Л\, = 0;

 

 

«2 = 0

*12 - - 1 - м 12

=

о.

Наиболее распространенными являются: условия Навье

ш = Мц — Ыи = и2 — 0;

условия заделки

ю =.- = их = иг = 0;

(8)

(9)

(Ю)

(П)

Обо­

значе­

ние

5

5,

$0

С

с*

С0

с.

Р

Дифференциальные уравнения колебаний оболочек

421

I Граничные условия для края х1 =соп8( оболочки

Название

ОпергыП край, свободный в на­ правлении х г (условия Навьс)

Опертый неподвижный край

Опертый край, свободный в тангенциальных направле­ ниях

Полностью защемленный край

Защемленный край, свободный в направлении л*4

Защемленный край, свободный в тангенциальных направле­ ниях

Защемленный край, свободный в направлен ни х3

Краевые услови

ьи= 0; Л!,, = 0; = 0; и3 = 0

ш = 0; Л/,, = 0; = 0; и2 = 0

10 =

0; Л1ц=0;

ЛГп =0;

М1г- - 1 - М 18= 0

и = 0;

0, = 0;

м1 = 0;

на = 0

ш = 0;

0, = 0;

ЛГ,, = 0; к4 = 0

ге>= 0;

01 = 0;

^ и = 0;

М12----

 

 

Д:

сы= 0; 0, = 0;

«1=0;

N 12----5—Л/,2 = 0

Свободный край

ЛГ„ = 0; N „ - - ± - 1 * ^ = 0

условия свободного края

<?1 -I-

= «11 = »И = #11 — ^ 7 М11 = О-

Другие виды граничных условий (условия упругой заделки и т. п.) отличаются от указанных тем, что в них краевые усилия могут совер­ шать работу на перемещениях оболочки.

Уравнения безмоментной теорйн для динамического случая. Пусть для некоторых форм колебаний напряжения изгиба пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями, связанными с усилиями в средин­ ной поверхности. Тогда можно использовать дифференциальные урав­ нения безмоментной теории оболочек, получающиеся из уравнений (1)

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009