Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

422 Колебания оболочек

путем пренебрежения изгибающими моментами УИар и перерезыва ющими силами (?а:

Г д {Мп Н2)		д(И21Н1)	+
НХН,2 I	^1	дхп

, А, дНж	А, дЯ2 1	, л __ . д*иг .
+		+ 41 ~ рН~дРг *

' а (Ып н 2) .	а(/л,..//,)		„	ая,	+	(12)
+	~ Ж	—	" и ддГо		+	(12)
			<Э2а.2
	+ 4а =	Р'‘ " Ж
Л'п			д2и;
			Ж	’
				д2их		(2) путем
Соотношения упругости могут быть получены из формул						(2) путем

пренебрежения членами, содержащими компоненты изменения кри визн ха$.

Количество граничных условий для безмоментной теории оболочек должно быть понижено вдвое. Так, из граничных условии (см. стр. 420) следует сохранить только комбинации условий (10) и (II).

Уравнения теории пологих оболочек для динамического случая. Пусть колебания носят преимущественно изгибный характер. Тогда в выражениях (4) для компонентов изменения кривизны можно пренеб

речь вкладом тангенциальных				компонентов вектора смещения
1	, Л _ (		1	дт >		1	дИх
: #1	'	дхх \,	Я,	дхх >>+■		я ,я *	дх2
1		1 1		дт >		I	дН2
^ Иг	'	дхг \,	я .	* дх2 у) +		я \| я 2	дхх
«12 =		1	/	д2т	1	дНг	дт
«12 =		я , я ,	\ дхх дх2		Иг	дх2 " дхг
			1	дН2	дш \
			И2	дхх	дх2 ) *

Кроме того, можно пренебречь в первых двух уравнениях систем (1) тангенциальными силами инерции и перерезывающими силами 0 1ъ р 2. Тогда в предположении, что тангенциальные компоненты внешних сил <7Х, ц2 равны нулю, можно ввести функцию напряжений %по фор

мулам
I	,_5_ ,(			1	ъ	у	1	дНг
Я*	'	дх*	<		дх*	1+			дхх *
Я*	'		<	Н2		}	я ? я 2		дхх *
			^	Н2			я ? я 2		(14)
1					и% >		1	дНх	(14)
1			1{ Иг		и% >		1	дНх	ах .
ЛГМ = Иг		дхг	1{ Иг		' дхг >1+		НА	дх2	дх2 »
							НА

Свободные колебания цилиндрических оболочек						423
#12 = Мп = —	__1__	/ 3 * Х ____1		дН\	д%
#12 = Мп = —	ЯХЯ2	\ддх\хдх23*	Н\	* З*^	3*1	(14)
	1	ЗЯ2	Зх \			(14)
	1	ЗЯ2	Зх \

Н2 ’ 3*1 3*2 /

Если исключить из уравнений (1) усилия по формулам (14) и моменты по формулам (2) и (13) и добавить уравнение совместности деформаций, то система дифференциальных уравнений будет

32ш

О ДДаи + ДдХ + Рк ~ ы Г = Р ‘>

(15)

ДДх — = 0;

здесь р = <7з — нормальная компонента внешней нагрузки. Оператор Лапласа Д и оператор Д& определяют по формулам

Д =		1	/ Я 2	3 >
Д =		Я Л	\ Я ,	' 3*1. >
		Я Л	\ Я ,	' 3*1. >
Д* =		1	Г 3 / Я3	3 \	д	(	Нх	д \1
Д* =	Я,# 2		I 3*! V ЯхЯа	’ 3*1х у ^	3*а	\	Яо/?!	* 3а ) \

Дифференциальные уравнения (15) в литературе называют уравне ниями пологих оболочек, уравнениями теории краевого эффекта, а также уравнениями для состоя ний с большим показателем изме няемости.

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Дифференциальные уравнения колебаний в перемещениях. Пусть в качестве координат на срединной поверхности цилиндрической обо лочки выбрана координата хг = * вдоль образующей и длина дуги

*2 = « в окружном направлении (рис. 2). Тогда коэффициенты Ламе Я х, Я а будут равны единице. Радиус кривизны /?1 обращается в беско нечность, радиус кривизны # 2 = # = соп$*.

Уравнения колебаний круговой цилиндрической оболочки в пере

мещениях имеют вид
ЕН / З-Кх	. 1 — у З2^!
1 — V3 V З*2	2	Зза			(16)
1 + у 32ма	■ V	дт \	.	д-и*	(16)
1 + у 32ма	■ V	дт \	.	д-и*
дх дх + К		дх ) ~ 9 ‘		дР '

424

Колебания оболочек

В±

д*и2

1 -

д-и2

- ( ^ 2 - + .

V"*

Ло2

дх*

д~и.\

д&*

1____

ди> \

,^ и 2 .

дх дз

' да )

Ла [ 2(

дхз

д*и2„

д^1Л1

д3и> ]

д2ы2

(16)

+ “аР

(2“ ^

);?

' К да* ] ~

рА

й 2

;

ЯЛЕН

ди, ,

ди*

ю \ ,

К ‘ 1 ^ Г - а Т + - З Г + Т г ) +

, г , Г * Д

Г о

д 3 “ г

, Й ° и , 1 1

+ 0|Д Д ш

<3д.2Й5

а53

] |

рЛ а/г •

Уравнения безмоментной теории оболочек получатся, если в урав нениях (16) опустить все члены с множителем й . Уравнения пологой оболочки получаются при пренебрежении членами в квадратных скобках.

О применении упрощенных дифференциальных уравнений теории оболочек. Пусть решения уравнений колебании цилиндрической обо лочки (16) могут быть представлены в форме

их = С/Лек^ С05т<реш \
и2= и 2е ^	5ш т<реш \
ш =	соз тцеш \	(17)

( * - | И ’ - * - ) •

Подставляя выражение (17) в уравнения (16), можно найти связь

между	комплексными	постоянными			С/1т 1/ г» №'•
	Ф1^1 = -		,	ъ и 2 = -			ту*V?	(18)
и характеристическое		уравнение
		в)6 — Лю4 4- с©2 — (1= 0.						(19)
		*	* 1		*
Здесь для сокращения			приняты		обозначения
ЧЧ = ^10 + & ( 2 <1 - у ) [ х * -					2 — 2\ + V2
					2 (1 - V )		«** +	- т ]

		+ о^ [2(1 — V) X2 — т 2]
	% ,= К + ^ - т 2] [ ^ + - Ц ^ ( х ^ - т 2) ] ;
Ф, =	Фи — 621—	т » [(2 — V) X*— т 2\| — V \|2 (1 — у) V — т а) \| ;
	Фго =		1 — V			(уЯ2 + т2);
				2

Свободные колебания цилиндрических оболочек											425
Фз = Фзо + *2 {“ 2 [(2 — V) Л.2 — От2] +									(2 — V) X4 —
— (2 — I>			+	0,5у2) /яЧ а +			- Ц		р т * \|;
Фзо=		— Р	+ - Ц р		[« * — <2 + ”)*1;
Ь = Ь„ + б2 [(Я.2 + т 2)2 — 2 (1 — V) Г- +										/и2];
	Ьо =		1 — 3 ~ р		(X3 — т 2);
с = с0- б а [ - ^ = ^ ( Я 2 - т » ) * - 2 (1- у ) Я « -
	-	(2 -	V2) т 2Г- +		Р	р		Я!1 ] ;
«о = - Ц	Р -	[ -	(3 + 2») Я.» +			т 2 +		<Я2 -		т 2)2];
		б2 [— 8т*1? +			(8 — 2V2) /я2?.4 + 4 т аЯ2];
4, =		^ +		Щ 1 - 62 ( -		г'"0 +			"<4):
йо =	- Ц	^ [ 0		- ^ ) ^	+	б2 (Я2 - ш ’-)4];
										1_
б2 =	/г2									2
				О)# =	['		Й Т		Л	]
	12/?2 *
Во многих случаях		корни А.* (Л =			1,		.	8) характеристического

уравнения (19) можно разбить на большие X и малые А,.

В общем случае произвольных краевых условий задача об определе нии частот и форм собственных колебаний приводит к сложной краевой

задаче. Если допустить асимптотическую погрешность е = 6 2 и ис пользовать методы асимптотического интегрирования, то основное уравнение можно упростить. Эта задача рассмотрена У. К. Нигулом [25].

Наименьшую собственную частоту можно найти приближенно по формуле

совместно с формулой

1 1

426 Колебания оболочек

Граничные условия Навье. Задача определения собственных частот и форм колебаний цилиндрической оболочки существенно упрощается,

если	оболочка занимает прямоугольную область		^
^ 5 ^	52),	а граничные условия являются условиями	Навье. Для
замкнутой		цилиндрической оболочки длины /(О г^ Х г^О	граничным
условиям		Навье удовлетворяют смещения, задаваемые формулами

II с с

С05	пт1х	- « т	т>$ еш -
	1

и2= и20 31П	Л/НхX _ГПоЗ				ш	;
	1	-со*		ц	е
						(20)
т = т»0 51П	типлХ		5Ш	гпоз		ш
	1			К	е
т2= 1,		2.	3___ ).

Подставляя выражения (20) в уравнения колебаний (16) и требуя, чтобы постоянные и10, цг0, оу0 не обращались одновременно в нуль,

можно найти уравнение частот
— М	1 + М * — *0 = °.		(21)
где
*0=4- ((-V) 2 (1+у)Х4 + -1- (1 —V) 6 2 [(Х2			+ т2)4-
- 2 (4—V-) Ъ*т1 -	8 Х2 т4 —2т®+ 4 (1 — V2) X4 +
+	4Х2т \|	т.4] ;
й1==4 _(1 — '*') (X2 + <п\)1 +		(э — V — 2-и2) 1? +
+ 4 " < ‘ — у > т1 + ®2 [ 4 “ (3 — V) (X2 + т \| ) 3 + 2 (1 — V) X4—
— (2 — V2) Х2т \| ----- (3 + V) ш4 + 2 ( 1 — V) X2 +			/в!] ;
*2 = 1 Ч— 2” (3 — V) (Х2 + т		\| ) в 2 [(Х 2 + « 2 ) 2 +

+ 2 (1 — у)Х2 + т |] ;

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009