Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

432 Колебания оболочек

опустим члены в квадратных скобках). Решение уравнений может быть

записано в

форме

 

 

 

 

 

 

 

иг =

и х (а) соз пуеш \ и2=

С/2(а) зш пуеш \

 

 

 

ш = \У (а) соз п(реш ;

 

 

 

“х=

2 с 1пк )'У ы а; У2=

2 С/пА

^ м “;

(23)

 

 

/=1

 

/=1

 

 

 

 

и7= | с^ /л“; ( а =

+

* = + ) >

 

где п — число волн в окружном

направлении;

к $ — постоянные;

X;л — корни

характеристического

уравнения

 

 

 

6Д 8 + Ь4Хв + Ь2Х* + Ь3Х* +

Ь4 =

0,

(24)

коэффициенты которого зависят от параметров оболочки и от безразмер­

ного параметра

частоты

 

 

 

 

 

0>, =

] / ”р ( *~

Л"-'

 

следующим образом:

 

 

 

* =

 

в*; »х = &

 

- <*);

Ь2 —

2

(°33 — а\\й — “V2) + ^ ( а22 “ с 1г) “ * ^2а11а22»

^3 =

а33 ( --- 2--- ° П

С12 — а22)

а22 (а11^ +

г’2) +

 

 

+

023 (а2з — 2*уо1о);

 

где

 

^4 =

ап ( а23 ““ а22а3з)»

 

 

 

 

 

 

“11 = ®!— - Ц - 5- ”2; в12=

а22=

®2;

а2з=л; “зз = 1+ "4в2- <в2; <*= 2п2б2; а2= -щ *-.

Каждому корню Х/п характеристического уравнения (24) будут соответствовать следующие значения коэффициентов;

Свободные колебания цилиндрических оболочек

433

здесь

+ (о

1 — V

 

 

А -------

+ а11а221

 

ап “ а12^ ^

 

Д(1) =

( 1

2~~ ^ + а12°23—

;

 

Д(2) =: %2 {уа12 — д23) — ап а23.

Удовлетворение граничным условиям (по четыре условия на каждом

из краев а = 0 и а = у = приводит к системе восьми однородных

уравнений относительно постоянных интегрирования С/я. Приравнивая нулю определитель этой си­ стемы, можно получить урав­ нение частот. Эта задача рас­ смотрена Ю. Ю. Швейко, Ю. В. Гавриловым и А. Д.

Брусиловским [31], а также Форсбергом [36].

Зависимость частот пер­ вого тона колебаний для раз­ личных видов граничных условий показана на рис. 6— 10. На рис. 7 штрих-пунктир­ ной линией показаны прибли­ женные результаты Арнольда и Уорбертона [33].

Обозначения граничны условий см. в табл. 1.

Сопоставление форм собст­ венных колебаний цилиндри­ ческой оболочки при различ­ ных условиях на торцах пока­ зано на рис. И.

Минимальные частоты колебаний замкнутой цилиндрической обо­ лочки, защемленной по краям, приведены в табл. 3. Для сопоставления даны минимальные частоты для опертой оболочки. В скобках указано соответствующее число волн в окружном направлении.

Сопоставление с большим количеством данных вычислении пока­ зало, что для приближенного (с погрешностью до 5%) определения значений минимальных частот колебаний оболочек с защемленными

торцами в

диапазоне безразмерных параметров

1 ^ - 5- 10, 100-^

 

 

 

 

К

^ - ^ - ^ 8 0

0 можно использовать следующую полуэмпирическую фор-

Л

 

 

 

 

мулу [31]:

 

 

 

 

«2 _

а2 / и2

„,,2\2 / , _„,2\____Ф*

 

со“

=62 (гг +

ф2)2 + (1 — V2)

+ ^)2)2 I

где

 

 

 

 

 

 

Ф = —

0 + 7 ) ;

 

434

Колебания оболочек

Свободные колебания цилиндрических оболочек

435

т2Ю0

Рис- ю

и

О М

I

»_?

 

I- ~т

ч

ОМ —

-ом0 \

Л

У

'Л

 

■с-с

-О М

 

 

5-с

 

 

1

- 0,12

 

 

V

о

-0,25 -0,50

- 0,11

V/

11

1.0

0.5

0

Рис. 11

1

Минн

 

 

 

 

 

 

Гл п

_V*)! ^

-102 опертой (5—5) и защемленной

по торцам (С—С)

 

частоты колебаний ю0 = (й*‘10я = (йЯ ^

 

^

 

 

 

 

 

 

круговой цилиндрической оболочки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Гранич­

 

 

 

 

 

 

 

 

я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

ные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия

 

200

300

400

 

500

600

700

|

800

 

 

 

100

 

 

1

5—5

23,08

(7)

16,47

(8)

13,46

(9)

11,61

(10)

10,39

(11)

9,518 (И)

8,782

(12)

8,232

(12)

 

С— С

29,32

(7)

21,42

(9)

17,89

(1 1)

15,70

(12)

14,15

(12)

12,99

(13)

12,12

(14)

11,39

(14)

2

3—3

11,43

(5)

8,141

(6)

6,669

(7)

5,829

(7)

 

5,179

(8)

4,733

(8)

4,421

(9)

4,100

(9)

 

с— с

15,63

(6)

11,30

(7)

9,366

(8)

8,230

(9)

 

7,390

(9)

6,789

(10)

6,295

(10)

5,948 (11)

3

3—3

7,609

(4)

5,388

(5)

4,485

(6)

3,833

(6)

3,491

 

(6)

3,156

(7)

2,907

 

(7)

2,733

(7)

 

с— с

10,59

(5)

7,692

(6)

6,411

(7)

5,570

(7)

5,023

 

(8)

4,577

(8)

4,285

(8)

4,001

(9)

4

5—3

5,776

(4)

4,143

(4)

; 3,302

(5)

2,889

(5)

2,618

 

(6)

2,351

 

(6)

2,174

 

(6)

2,051

(6)

 

С— С

8,158

(4)

5,863

(5)

4,822

(6)

4,233

(6)

3,795

 

(7)

3,454

(7)

3,231

(7)

3,035

 

(8)

5

3—5

4,578

(3)

3,196

(4)

2,701

(4)

2,311

(5)

2,044

 

(5)

1,883

 

(5)

1,779

(5)

1,649

 

(6)

 

С— С

6,476

(4)

4,736

(5)

3,899

(5)

3,403

(6)

 

3,025

 

(6)

2,799

 

(6)

2,607

(7)

2,416

 

(7)

б

5—5

3,681

<3)

2,759

(4)

2,175

(4)

1,930

(4)

 

1,805

 

(4)

1,565

(5)

1,440

 

(5)

1,352

 

(5)

 

С— С

5,624

(4)

3,991

(4)

3,239

(5)

2,827

(5)

2,589

 

(6)

2,322

(6)

2,146

 

(6)

2,023

 

(6)

7

5—5

3,200

(3)

2,344

(3)

1,899

(4)

1,615

(4)

1,464

 

(4)

1,376

(4)

1,264

(5)

1,163

 

(5)

 

С—С

4,791

(3)

3,351

(4)

2,887

(5)

2,419

(5)

2,169

 

(5)

2,020

(5)

1,873

 

(6)

1,732

 

(6)

8

3—8

2,930

(3)

1,971

(3)

1,736

(3)

1,434

(4)

1,264

(4)

1,161

(4)

1,094

(4)

1,049

(4)

 

С— С

4,068

(3)

2,967

(4)

2,438

(4)

2,184

(5)

1,904

(5)

1,734

(5)

1,622

(5)

1,545

(5)

9

8—3

2,726

(2)

1,736

(3)

1,466

(3)

1,327

(4)

1,142

 

(4)

1,027

(4)

0,9511

(4)

0,8984

(4)

 

С— С

3,591

(3)

2,730

(4)

2,147

(4)

1,902

(4)

1,743

 

(5)

1,555

(5)

1,430

 

(5)

1,342

 

(5)

П р и м е ч а н и е . В скобках указано число волн в окружном направлении.

оболочек Колебания

Свободные колебания цилиндрических оболочек

437

Коэффициент <7 принимает знамен

0,3

при

1

100 ==5

200;

? = ' 0,38

при

 

2 0 0 = 5 -^ -^ 5 0 0 ;

0,42 в остальных случаях.

Другие типы граничных условий. Применение вариационных мето­ дов. В общем случае произвольных граничных условий для определе­ ния собственных частот и форм колебаний могут быть использованы вариационные методы. Ниже дано применение метода Ритца в случае замкнутой цилиндрической оболочки.

Потенциальная энергия

12пК

и =

I {Л^еп + № ,*% ..+ 2ЛГ,Л г + Л 111*11 +

о

о

 

-{- ^22^22 ~Т~^ ^ 12^12} &Х

Максимум к нетической энергии будет

I 2пЛ

Гш а х = 4 '1 1 РЛ“ 2 (“! + “2 -|-щ2)

оо

Приближенные решения удобно искать в классе произведений ба­ лочных функций переменной х и синусоидальных функций перемен­ ной 5:

 

„

1

 

АтХ

] СОЗ

 

П8

«1

~ Сьп Л,л

р т ( - ~ Г .

 

 

Я

«2

— С%тРТП ^

Х,пх

>

П5

 

(25)

 

) 5111

Я

;

 

 

/

 

 

 

 

 

ХщХ '\

П5

 

 

Ш— С^тРт ^

“ Т

1С05

~ 1 Г '

 

 

 

 

\

 

При этом балочные функции должны удовлетворять граничным условиям, соответствующим рассматриваемым граничным условиям

для оболочки.

Условия минимума дроби Рэлея дают

-дТ?— (Р - <*гТ) = 0 (/ = 1, 2, 3);

дС/пг

отсюда можно найти уравнение частот в виде ю® — й2оо* + ^1°^ — А0 = 0.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009