440 |
Колебания оболочек |
Соответствующие частоты вычисляют по формулам (21) или (22), полученным для опертой оболочки.
Влияние граничных условий на частоты и формы собственных коле баний. Влияние граничных условий на спектр собственных частот колебаний, вообще говоря, тем больше, чем проще соответствующая форма колебаний, т. е. чем меньше узловых линий в окружном и ра диальном направлениях. При этом на собственную форму колебаний граничные условия существенно влияют лишь в пределах полуволны вблизи края (см. стр. 437—439). Кроме того, преимущественно изгнбные формы колебаний особенно чувствительны к условиям моментного типа [условия (8) и (9)], а безмоментные формы колебаний обычно чувствительны к тангенциальным граничным условиям (10) и (11)*
г
ЦЗ |
|
\ (Ч |
Яи |
|
|
|
1 |
л |
|
||
|
|
|
|
||
0,2 |
|
|
^ 1 |
|
|
|
|
4 |
|
||
0,1 |
|
Л |
Л\ /, > |
— 1 |
|
0 |
2 4 т2 0 2 4 тг 0 |
2 4 6 |
8 т , |
||
Рнс. 13
Сопоставление собственных частот и форм колебаний, соответству ющих различным граничным условиям, приведено в работах [31, 36], см. также рис. 6—11.
Влияние тангенциальных сил инерции. Влияние тангенциальных сил инерции на величину частоты собственных колебаний цилиндрической оболочки можно оценить по формуле [21 ]
где © — значение частоты, вычисленное при учете тангенциальных сил
инерции; © — значение частоты, полученное при пренебрежении тангенциальными силами инерции:
г ■ ^ в 2 (Х2 + |
(3+2г) > , 2 + т^ |
т5) + |
|
|
(Х’ + т 2)2 |
1 |
птхК |
|
Г ~ ' |
Зависимость г от т1 или т2 показана на рис. 13.
Влияние начальных усилий в срединной поверхности. Дифферен циальные уравнения собственных колебаний цилиндрической оболочки
Свободные колебания цилиндрических оболочек |
441 |
в перемещениях в упрощенной форме с учетом параметрических членов имеют вид (Д^,2 = 0)
ен |
\ ( & , 1—у |
а2 \ |
и* |
1 + у ш |
||||||
1— V2 |
[ \а*3 |
*" |
2 |
* |
дз2 |
) |
2 |
а* а5 |
||
|
|
. |
V |
|
дш 1 . |
д-их |
|
|
||
|
|
+ |
Я |
' |
дх |
1 ~ |
|
|
|
|
Е1г |
Г |
1+ V |
|
а *иг |
/ 1 |
|
V а2 |
а2 \ |
||
1 — V2 |
ь |
2 |
* дхдза*а$+ |
\ |
2 |
а*2 + |
д р 7 из + |
|||
|
|
|
1 |
|
диз |
|
|
д2иг |
|
|
|
|
+ Я 'И Г Ь ' Ф ; |
|
|
||||||
ей |
/V |
а% |
, |
1 |
а«2 |
, |
а» , г0По*а \ |
|||
т=^г Ы |
-а г+ т г -эг + ж |
+6'Л'ДАш) ■ |
||||||||
|
|
а2и> |
" 22 |
а2ау |
“ |
=-рЛ |
д2ю |
* |
||
|
|
дх2 |
а52 |
^ |
а/2 |
|||||
В случае свободного опирания краев решение можно искать в виде
|
|
Л |
|
тпх |
71ПЗ |
|
|
|
1*1 |
= |
С 0 8 — |
^ |
С 05 — ^ — |
|
|
|
и2 |
„ |
, |
лтх |
лпз |
|
|
|
= А2 з!п — -— 81П — |
|
|||||
|
|
. |
. |
птх |
тшз |
|
|
|
>= А3 |
51П ----^----С05---- . |
|
||||
Если пренебречь по сравнению с |
единицей величинами |
порядка |
|||||
ЬЩ} |
дз/гзроз |
|
к*р<йЩ/ |
|
|||
~ВГ ’ 3 также ----- Е |
и -----11 |
, то приближенное значение |
|||||
частоты можно определить по формуле |
|
||||||
|
“ а = ' ^ |
' (Я‘ + |
бг(^ |
+л!!)4(1~ ' ' 2 Г ,+ |
(26) |
||
+ |
(А3 Н-я3)2 [А3Фп + |
(я3 - |
1) Фм]) [(А.3 + я3)3 + п3]-‘ |
|
|||
|
( 1 - |
|
|
|
|
|
|
Формулу (26) можно представить также в виде ©2 = (4(1+в1<Рп .^ Я,ф22).