442 Колебания оболочек
Если в срединной поверхности оболочки действует сдвигающее усилие N1 2 , то формулу для частоты после дополнительных упрощений
можно записать |
|
|
|
|
|
|
©2 = |
(1 + |
+ |
§2^22 ~~ |
| ^ 121); |
|
|
здесь |
|
кп (А,2 + л2)2 |
|
|
|
|
5 - |
|
|
|
|
||
X4 + |
63 (1 — V»)-! (X3 + |
п3)1 • |
|
|||
Минимальное значение частоты |
три заданных фп , фаг, ф12, К, |
Л, I |
||||
и т достигается при значении п — лоПри фп = Фаз = 0, т = |
1 ве |
|||||
|
|
|
личину |
л о |
определяют по фор |
|
|
|
|
муле |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л0 = |
4,2(1 — V3) 8 X |
|
|
|
|
|
* ( |
)+ ( |
)+ |
|||
|
|
|
Это значение4 |
получено4 |
в пред |
|||
|
|
|
положении, |
что |
|
|
|
|
|
|
У*икр |
|
а.2 « л|). |
|
|
||
|
Рис. 14 |
|
|
(й/со0 |
от отно |
|||
|
|
Зависимость |
||||||
ражена |
на рис. 14 (эта |
кривая |
шения фха/ф12дгр |
при л = л 0 изоб |
||||
практически |
не зависит от геометри |
|||||||
ческих |
размеров оболочки); здесь |
|
|
|
|
|
||
|
«Риде» = |
0,74 (1 - |
V3) 8 |
( М |
- ) |
4 |
|
|
При других значениях п кривые более вытянуты по горизонтали. Подробному исследованию влияния начальных усилий в срединной поверхности на собственные частоты колебаний посвящены работы
127, 371.
Влияние поперечных сдвигов и инерции вращения. Учет деформации сдвига и инерции вращения приводит к некоторому уточнению частот, найденных в рамках гипотез Кирхгофа:Лява. Это уточнение тем суще ственней, чем.меньше длина полуволны форм колебаний. Кроме того, появляются новые формы собственных колебаний, соответствующие более высоким частотам. Для получения уточненных дифференциаль ных уравнений вводим триортогональную систему координат: х — вдоль
образующей; 5 — в окружном |
направлении по |
средней поверхности; |
||||
г — перпендикулярно средней |
поверхности. Предполагаем, что пере |
|||||
мещения представлены в |
виде |
|
|
|
|
|
«1 (г) = |
иг (х , |
«; |
I) + |
гр, (х, |
« |
(); |
«2(г) = и 2 (*. |
|
0 + |
гр, (х, |
г. |
<); |
|
|
«з(г) = |
ш (х , |
*; <)• |
|
|
|
Колебания сферических оболочек |
443 |
|||
Система уравнений имеет |
вид |
|
|
|
^ 11«1 -I- ^ 12^2 + |
^13^ + ^14^1 + |
^ 1*02 = |
Ф |
|
^21М 4~ ^Й2и2 + |
^23^ "Ь ^2401 |
^2»Рг = |
0; |
|
^31^1 ~Ь |
+ ЦэМ + ^34^1 + ^'35р2 = 0; |
|||
^•41^1 + |
^>42^2 Ч~ ^13^ “Ь ^44Р» Н“ ^4Г>Рз —0, |
|||
1*Ы И | Н “ |
^ 5 2 ^ 2 |
^ 5 3 ^ “ 1“ ^ - 5 4 ^ 1 "1 “ |
^ В б Р г = |
0 * |
Результаты |
[38] приведенной |
частоты |
||
“ »= м ( — )Г~) У ъ
свободных осесимметричных колебаний опертой цилиндрической обо лочки по трехмерной теории даны на рис. 15 сплошными линиями,
для сопоставления штриховыми линиями нанесены результаты вычисле ний по теории оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява.
КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Основные соотношения. Уравнения колебаний. Пусть срединная поверхность (рис. 16) сферической оболочки отнесена к географической системе координат ^ = 0,
*2 = Ф (в — угол широты; <р — угол дол готы). Параметры Ламе выразятся фор мулами
# 1 = /? ; н г — К 5Н1 0,
где К — радиус кривизны оболочки.
Колебания сферических оболочек |
445 |
Упрощенные дифференциальные уравнения. При определении ча стот и форм свободных колебаний, для которых напряжениями изгиба можно пренебречь по сравнению с напряжениями растяжения срединной поверхности, можно использовать упрощенные уравнения — дифференциальные уравнения безмоментной теории оболочек:
(30)
Соотношения упругости также упрощаются:
^12 — Мц = ' |
Е12- |
Для отыскания преимущественно изгибных форм колебаний могут быть использованы другие упрощенные дифференциальные уравнения. Уравнения упрощают введением двух предположений: 1) влиянием тан генциальных сил инерции можно пренебречь; 2) вкладом тангенциаль ных смещений в изменение кривизн можно пренебречь. Последователь ное проведение этих гипотез и введение функции усилий х приводит к дифференциальным уравнениям
ОДДш + -1-Д х + р Л ^ = 0 ;
(31)
ДД% — К Дш = 0.
Связь усилий в срединной поверхности с функцией % н выра жение оператора Лапласа Д даются формулами
(32)
Иногда удобно исключить из системы (31) функцию усилий
1> ДДДиу -1- Дш + рИ Дщ = 0. |
(33) |
446 |
Колебания оболочек |
Собственные частоты колебании сферических сегментов. Решение дифференциального уравнения (33), соответствующее свободным, ко лебаниям пологого сферического сегмента с частотой со, можно искать в виде
до = до (г, ф) еш , |
(34) |
где г, ф — координаты точки в полярной системе координат. Подстав
ляя выражение (34) в уравнение (33), |
убеждаемся, |
что свободная |
форма колебаний должна удовлетворять уравнению |
|
|
ДДДдо — 64 Ддо = |
О, |
(35) |
где |
|
|
Но решение уравнения (35) является суммой решений дифферен
циальных уравнений в частных производных |
|
Ддо = 0 ; Дю — Ьгю = 0; Дм» 62до = 0. |
(36) |
При этом решения первого уравнения отражают статический изгиб сферического сегмента краевыми усилиями и моментами, решения второго уравнения затухают с удалением от края оболочки и характе ризуют динамический краевой эффект, решения третьего уравнения совпадают с формами свободных колебаний всюду за исключением области, прилегающей к краю.
Свободные формы колебаний удобно искать в виде
до (г, Ф) = / (г) соз гсф.
Тогда решения уравнений (36) будут иметь, соответственно, следу ющий вид:
|
/ = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
/ = В г 1п (Ьт) + |
В 2К п (Ьг)\ |
! = |
С У л (Ьг) + |
С 2 У п (Ь г). |
||||
Так как в вершине сегмента смещения должны |
быть ограничены, |
||||||||
то А2 — Вй = С2 = 0. |
Окончательно, |
функция / (г) имеет вид |
|||||||
|
! (г) = Агя + В1п (Ьг) + а |
п (Ьг), |
|
(38) |
|||||
Аналогичные выкладки для функции напряжений (усилий) |
|||||||||
приводят к формуле |
|
%= |
*Ф(г) соз пуеш |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ (О = Ргп + |
|
|
г*+* + |
р р (В1п (Ьг) - |
С1п (И ]. |
||||
Для |
иллюстрации |
удобно |
рассмотреть |
осесимметричные свобод |
|||||
ные колебания сферического сегмента |
с защемленным |
контуром. Гра |
|||||||
ничные |
условия при |
г = |
г0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и 1 |
= «а = |
до = |
ддо |
0. |
|
(39) |
|
|
|
|
|
|
|
~дг |
|
|
|
448 |
Колебания оболочек |
Радиальные колебания замкнутой оболочки; сопоставление с точным решением. Для получения точного решения необходимо исходить из уравнений теории упругости. В этом случае компонент смещения в ра диальном направлении удовлетворяет уравнению
й2иг |
2 |
<1иг |
2 |
2 |
Л |
№ |
|
|
}Г*г + * и г - 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
(аа “ |
р^а |
\ |
|
|
|
Х + 2 Ц / ’ |
|
|||
Радиальное нормальное |
напряжение |
будет |
|
||
стг = |
(Я, + 2р) |
2Х - у - . |
|
||
Решение дифференциального уравнения может быть записано в об
щем виде |
Л / |
Сх 51П аг + |
Со со® аг |
||
иг |
|||||
йг \ |
|
г |
= |
||
|
|
||||
Если гг — внутренний радиус; г2 — внешний радиус полого шара, |
|||||
то уравнение частот примет вид |
|
|
|||
1аг1+ (аМ — 0 |
>8а г 1 |
Ъ,аг2 + (аУ-2— С) агг |
|||
( “ М — ? ) —& Г1 |
а г , |
( ( ? г \ — 5 ) — ? а л 2 а г г |
|||
В случае очень тонкого шара (гг <=* г2 ^ В) приближенное значение частоты может быть найдено в явном виде
гп 1 / |
(Х + 2 |1 )С (3 - 0 |
|
V |
|
’ |
|
л Г |
2Е |
® ” |
Г |
р/?я (1 — V) * |
Этот же результат получается при использовании уравнений теории оболочек.
Влияние деформации сдвига и инерции вращения на колебания сфе рических оболочек. Учет деформации поперечного сдвига и инерции вращения приводит к уточнению частот и форм колебаний, найденных на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Это уточнение тем существенней, чем меньше длина полуволн форм колебаний. Кроме того, появляются новые формы колебаний, соответствующие более высоким частотам. Пусть сферическая оболочка постоянной толщины Ни радиусом средин ной поверхности К отнесена к полярной системе координат (г, 0, <р). Решение ищем в форме
“в = Их + гфц иФ = и2 + грх; иг - ш.