Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания сферических оболочек			449
Уточненные дифференциальные уравнения движения будут
Ж + Ш 9 - 1 & +	с ' е 6 - * =		Ж ~ « к
Ж + Ш о - Ж + 2Ы^	в - ° ^	р Ш ^	- Щг;
Ж + 5ТЙ-0’§ Г + <?«с ‘ 8 0 + <"*• +		^	Ш + * «

ж+ ж е ‘ж +

дМ12	1	•^	+ 2Ми с18 в — Л<?2 == рАЛЧ»*! ф ,
50	"Г 51П 0
где				Л2
	к = 1	+ 62;	/<! = ! + 1,8б2; 62 =
				12#2 *

В частном случае свободных колебаний замкнутой сферической

оболочки уравнение частот при к« =			1,2, V =		имеет вид (&2—осред-
ненный коэффициент		сдвига)
\|	6* [— 3,6М3 -I- (6,8 + 8.2Л0 М3 +				(9,2 — 6,337/ —
	— 5.6Л/2) М + (4,27 — 7.2Л/ + 0,53/V3 + Щ \| +
+	Л42 — М (2 + ЛГ) + -5- N —				(ЗкМ + 2 — Щ X
	х ( з М + 2 — ^			- * ) = 0 ;
здесь		рй)2 (1 — V2) К2
	М =			N = п(п + 1);
		Е	;

п— номер присоединенной функции Лежандра. Приведенная задача рассмотрена Прасадом [45].

Нелинейные колебания пологих сферических оболочек. Для изуче ния осесимметричных нелинейных колебаний пологих сферических оболочек может быть использован метод Бубнова-Галеркина. Пусть сферический сегмент отнесен к системе координат, которая в плане является полярной. Тогда уравнение срединной поверхности будет

Компоненты деформации выразятся формулами

е	ди	5/	дур	1	/ дур \ а	1
	11	Аг '	дг +	2	^“д Г ) ;	«22

450		К о л еб а н и я		оболочек
Условие совместности деформаций имеет вид
д	1гс ,	. ___V . и_____}_(Л Е А
дг	(«и)	«и -	~ЗГ	дг	2 \ дг )
Удобно ввести следующие			обозначения:

Ю “

т		•	‘ -■	Г1	рЬг\
И	н				ОЯ
в	VI .		-	йН
	ОН	9 4

(?— осевая сила, приложенная в полюсе оболочки; ф — силовая функция,

^22г\

Тогда, после применения х уравнению движения и уравнению совмест* ности деформаций процедуры Бубнова-Галеркина, задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных урав нений

у д3ш*	д2ю*
	д ?
	д2т*	0 1 .
		2я *

* (Рф		дф	1		1 —V2
6	+		\|	^	б2
х	Г А{*	дьо*	1	/	дно \ 2 1	= 0.
х	[ й1 ' дЬ + 2 \				) ]	= 0.

Удобно исходить из следующих граничных условии при | = 1

• т к м '*

Придавая коэффициентам а и р различные значения, можно полу чить различные варианты граничных условий:


а =	0,	р =	0	— жестко защемленный край;
а =	0,	р =	оо — свободно		защемленный край;
а =	оо,	р =	0	— жестко опертый край;
а =	оо,	р =	оо — свободно		опертый край.

Колебания сферических оболочек

451

Для нагруженной сосредоточенной силой и равномерно распределен ной нагрузкой сферической оболочки уравнение вынужденных колеба ний имеет вид (при решении по методу Бубнова-Галер кина)

	.	*з	*2		*		(44)
о» - р р - +		«1®Ь — Ф	о	+ С3Ш0 = С4“? + <*<Э
Здесь для сокращения		принято
8 — 25к +20Л 3				сх =	-
с0 = -	120	(2к — 1)	’			(2к — I)3
				^	3

	X (--- ^г + 4 " “ '\|"ЛЗ+2/г8“						/Е4+■	з~ 8А+б*а			рх) ;
									24		рх) ;
		3 (2к — I )2			( 1 2	2	к + ~	Т	к* ~ 3* 3 +
		+	3к-		Р1 —	3 — 8к -\|-6к2
			12		Р1 —		6	Р2) ;
			12				6	Р2) ;
	Сз~ 3(2/г — 1)			(	5	+ к	к2~	ЗЛ— 2		Ра)+
	Сз~ 3(2/г — 1)			(	5	+ к	к2~		6	Ра)+
			“Г	8	3 6 — 2		1 — V
			“Г	Ъ	2к — 1		5а	»
				3	2к — 1		5а	»
			С4 =■ 3 6 — 2			С5 =	26 — 1
					24		8л
		7 — 206 +			1862 4- (р — V) (1 — 46 4- 662)
		91-------------------------- 1				4 -р ,— V----------------------
			5		— 9й + ( ц . — у)(1 — 3&)
		И			1 + Ц — V				’
	й -	" + Д .			( 1 +У)а- 1				Н		Р_
		2 д	>		(5 + У)а—I »т				с\|”
	Особые точки уравнения (44) будут
	^	(1> = °;	« « ,2- 3, =			^ г (с2 ± Г		г4	^	) .
	Период колебания т* связан с амплитудами прогиба									и нагрузок
<?*,	зависимостью					^
		=	4 я б ~ '23 2 ( I — V2) 3				1		—
			в с кг*		I с	С4<?*	с^ 1		2

3" 2 0 + 3

^ -------

]

452			Колебания оболочек
Связь	с	при ^	= 0 и V = 0,3 представлена графически

при различных значениях т = б2 (1 — V2)"1 на рис. 17 [19].

Вынужденные колебания пологих сферических оболочек. Уравнения вынужденных колебаний пологой сферической оболочки под действием периодической возмущающей силы имеют вид

й Д Дор +	Дх +	рй	=	Р„Ь (г— г0)	;
	Ж ДДХ = ~ -Л < а .
Исключая из уравнений		время	х =	и) =	ж ш °* и введя
новые вспомогательные функции Р и ф по формулам
% ~Р —		ф; ш = А(ф — },р),
где

Ь = (рЛсод/?)-1 ,

Колебания конических оболочек

453

можно убедиться, что функции Р и ф должны удовлетворять урав нениям

Л КР =	0;	А (ДА — 64) ф			_ 1_	р„ (' — '«);
					П
	6< = - ^ Г			^ ____
		о
Частное решение последнего уравнения имеет вид
^ = - 1			^	{ 1 п \| г ' -		Г » \|2 +
дтI				_		_ _	\
+ - у №		№ 1 ? - г 0\|) + Я о № \|г - Г о Ш ) ;
здесь //о — функция	Ганкеля		нулевого		порядка.		уравнения будет
Общее решение соответствующего однородного
(в полярной системе	координат)
^		(г) С05 Лф +				(/•) 51П Лф],

п—0

где

4>и = ЛпГ'1+ А ™ Г Л+ В„7„ (йг) + В<"Уп (Ьг) +

+ Сп1п (Ьг) + С "'К п (Ьг).

Решение этой задачи дано Г. А. Ван-Фо-Фы и В. Н. Буйволом [12].

КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Дифференциальные уравнения тонких упругих конических оболочек для динамического случая. Пусть срединная поверхность конической оболочки отнесена к ортогональной системе координат х, ср (рис. 18).

Тогда коэффициенты Ламе будут

= 1;

= х $щ а,

где а — угол полураствора конуса.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009