Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

454				Колебания оболочек
Уравнения колебаний конической оболочки имеют вид
	д(м 1Х)	,		1	а л и	1		_	,	л *
	дх				^ — - ^ и + 9 , - р л Л ,
	дх
		1	<? (А/г1х)			1	дМ2.	+
		X	д*		Л 51Па		дф	+
	I	1	Л7		^2	+ «3 =Р/1-^Г
	+	7	^	Т Т ^Г		+ «3 =Р/1-^Г
	д(0,х)		+	■		арз	, ^зз	— <?з =
	дх		+	■		дф	*1 § а	— <?з =		(45)
				= -р Л		д2ИУ
				= -р Л		дР
1	а (м п х)				дМп
х	дх			л: зш а		д<р — 7 ^22 —			~
Д	а (М1гх)			1	дМ%ъ		Ч— “ М12 — Ог — О-
*	д*					д(р	Ч— “ М12 — Ог — О-
*	д*					д(р

Усилия и моменты выражаются формулами (2), в которых следует

учесть, что -=— = 0, /?2 = дс12<х. Компоненты деформации н измене-

ния кривизн будут

а^!

аиг ,

ц1

Рд;

Л $|П (X*

дх

х 1§ а

в !з

дих

и2 \ ]

[

д ф

Х -т —

’

х 51П а

дх

( Ш

Хц

д 2Ш

;

(

дт

ддо

~ а 7

д ф

а ?

и2 соз а ^

—

" :

:2 51П2 а

’~д7'

«13

д2ш

дю

ди2

а \

дхду

д ф

” а

С05

) ■

Приближенные уравнения краевого эффекта (уравнения с большим показателем изменяемости) при пренебрежении тангенциальными силами инерции для конической оболочки примут следующий вид:

		1	д2у
О Д А ш + 7 1 ё а " Ж					г ~ р Л < \|А '1 = 0 ;
	1	л л		1	д2и)		(46)
	ЕН АЛх ~		х1еа "дхг				(46)
1 . _	д2	1 а			1	У	\
\	дх3	х * дх	*’	ха 5Ша а		’ р(р2 /	'

Колебания конических оболочек

455

Тангенциальные усилия в срединной поверхности связаны с функ цией напряжений формулами

АТ	1	Эф2	,	1	д % -	АТ	,
11	51П2 а	Эф2	'	х	дх *	22	дх2 *
	. ---------!—		(■	52Х		3% \
	х	51П а	\	дхду	X " 0ф /

Свободные колебания конических оболочек. Полубезмоментная тео рия. Дифференциальные уравнения малых колебаний конической обо лочки, если пренебречь силами инерции в направлении образующих и использовать предпосылки полубезмоментной теории, имеют вид

д № гх)

дх

+’ -з ш

д(р

С>ф 4- 81П а

д №*х)

дМ22

дх

^12 ^ '

х1&а ’

дф

X 81П

а • р/1

д*и.

а/2

д*М.22 .

д2ш

п.

(47)

X й

5 1 П Л а

аф2“

РА ж

81П а

дх

- 4 ^

аф

дхи

з1п

ае:

аф

дх

х1&а

я ^ - =

дф

х Х1

С05

4 -

а»ец

81П

д ф 2

Первые три уравнения системы (47) являются уравнениями движе ния, последние три — уравнениями неразрывности деформаций.

Удобно ввести вспомогательные функции 0, ф по формулам

1	аф в		- - § 7 ;
Каз —х зш а	аф	»	- - § 7 ;
	аэ	в -г	аэ
х 81п а	аф * г ‘а — Ж

Решение можно искать в виде

{Ио, 0. ф) = { й 2 ,0 ,Ф) 81П пуеш \

(ш, е82} = [ш, Е2а) созпфе1Ы;

456	Колебания оболочек

использование упрощенных соотношений упругости

Л4га = ™* -^^22»		®22 =	^22
приводит к соотношениям
ю ~	X 81П а	(вда соз а — пф);
ю ~	л2 — соз2 а	(вда соз а — пф);
«2	X 51П а	(лв24 — -ф соз а);
«2	л2 — с052 а	(лв24 — -ф соз а);
	л2 — с052 а
шпх а +	игх 31П а «=*	I2 + соз2 а	„
шпх а +	игх 31П а «=*	■а--------5—	*2, з!п а а ;
		2 — соз2 а

ЕНх з т 3 а соз а , аТ/х/

Фл2 (л2 — соз2 а) {Х ^ ) ;

ЕН соз а 81П6 а

[х2[хС*2^ ')']')'- } -

л2 (л2 — соз2 а)

Рп2 (л2 — соз2 а)

1|> —х3з т 2 а

а • рйш2

л2 + соз2 а

х з!п а соз а

л2 — соз2 а

*|) = 0 .

Если оболочка шарнирно оперта (условия Навье), то краевые усло

вия будут

е22 = Т ц = 0

или

= (*21|>')' = 0.

Для

защемленного

края

= 0.

^ =

Решение полученного уравнения методом Галеркина дает

Аг ]

(е + 5 )

([(в +

5)* * ']'} ’ ЙС +

Аг |

(в +

{ )» ? * «

рЛ

(48)

= (* +

Е )/:

Л» =

( И - е ) ( 5 Ш

о;

з1па а соз2 а

1 —

л2 (л2 -|- сов2 а) *

А —

~М)2

\ 2

л2 (л2 — соз2 а)2

12 (I — V2)

/?0

з т 3 а (л3 + соз2 а) »

а — угол

полураствори

конуса;

/ — длина

образующей

оболочки;

е/ — расстояние

вдоль образующей от вершины

конуса до

меньшего

среза оболочки. Решение данной задачи получено Л. Ю. Поверусом и Р. К. Ряяметом [29].

Колебания конических оболочек

457

Результаты вычисления по формуле (48) безразмерной частоты

_1_

= ш/ ^ - Р ( 1 - у2) I 2

для опертой по краям усеченной оболоч и при V = 0,3, е = 0,5, т = 1 приведены в табл. 6.

							_ 1
	6.	Частоты <в* =			а /	Г п(1 — V8) 1 2		опертой	усеченной
	6.	Частоты <в* =			а /	- - — -------		опертой	усеченной
	конической оболочки				( с = “^—~ у “ =0,5,			V=0,3^	при различном
	числе п волн в окружном направлении (Я0 = /45 т а )
			{					^ -= 0 .0 0 3
			)— = 0,03					^ -= 0 .0 0 3
			'о					Х0
							а 0
	15	30	45		60	75	15	30	45	60	75
2	0,616	1,052	1,245	1,110		0,657	0,594	1,048	1,243	1,108	0,654
3	0,528	0,545	0,528	0.524		0,325	0,283	0.488	0,571	0,501	0,292
4	0,738	0,530	0,463	0,396		0,299	0.182	0,283	0,326	0,285	0,166
5	0,957	0,676	0,534	0,457		0,373	0,173	0,134	0,216	0,187	0,113
6	1,274	0,800	0,656	0,550		0,436	0,207	0,165	0,164	0.141	0,0928
7	1,705	0,928	0,758	0,631		0,526	0,242	0,172	0,157	0,132	0,0938
8	2,225	1,201	0,905	0,751		0,637	0,273	0,196	0,158	0.132	0,1057
9	2,822	1.488	1,085	0,894		0,783	0,319	0,222	0,178	0.148	0,1195
10	3,170	1,825	1,311	1,076		0,956	0,371	0,252	0.198	0,165	0,1307

Свободные колебания конических оболочек. Применение уравнений краевого эффекта. Неосесимметричные формы колебаний оболочек нулевой кривизны, соответствующие минимальной частоте, имеют в ок ружном направлении большой показатель изменяемости. Поэтому для определения этих форм колебаний можно использовать приближенные

уравнения		(46).	усеченной	конической оболочки	(хг ^ х ^	х2 =
Для	замкнутой
= I +	*х),	опертой	по краям,	решение уравнений	(46) проще	всего

искать, используя метод Галеркина. Аппроксимировать функции можно, например, при помощи рядов

го = с о з т с р С л з т °п ^х			;
	/1=1
Х - а ь щ ^ Л , , 81П - л ~			-
/	ЯП	хх \

Г " = _ г = 1 ’

458	Колебания оболочек
	Выбранные функции удовлетворяют лишь кинематическим условиям.

Динамические условия будут выполняться тем точнее, чем меньше будет

угол а.

Использование процедуры Галеркина приводит в одночленном приближении к следующему выражению для собственной частоты колебани”:

	+ 12(1—	/2		1~Е4			з (1 —Е2)		X
	+ 12(1—	V2)		8					X
		/I2 *б2 а		8			к
							к
X	1 - Е 6			2т2	\	(	1—Е3		1 -Е
X	10			;т2 а / \			6		2ап_ )+
	10			;т2 а / \			6		2ап_ )+
		т 4		4тг		\	1 - Е	X
	+( 51П4 а			з ш ?	а	/	2 ]	X
	х:	1— I*	1—Е3‘		,	3(Г=—Б)			(49)
	х:	10					«4		(49)
		10

Экспериментальная проверка показала, что формула (49) дает по грешность 10—15%. Эта задача рассмотрена В. Г. Годзевичем [16].

Влияние тангенциальных сил инерции. Учет тангенциальных сил инерции приводит к некоторому снижению частот преимущественно нзгибных форм колебаний и'к появлению--двух серий частот, которые соответствуют преимущественно тангенциальным формам колебаний. При этом снижение основной частоты может доходить до 15—20%. Это снижение тем существенней, чем меньшим числом волн в окружном направлении будет характеризоваться соответствующая форма колеба ний. При этом тангенциальные силы в осевом-и в окружном направле ниях неравноправны. На минимальнукгчастоту собственных колебаний наиболее существенное влияние оказывает учет инерции' в окружном направлении. Оценка влияния тангенциальных сил инерции рассмо трена Л. Г. Агеносовым [1 ] и* В. Е. Бреславским. Безразмерные пара метры частоты

0 - ^	) р ^	,
Р = - --------- ^	---------- ш 2 .

вычисленные при учете всех сил инерции (р) и при пренебрежении

тангенциальными силами	инерции р*	= 15°, V = 0,3,	=
= 0,003), приведены в табл.	7.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009