|
Колебания конических |
оболочек |
459 |
|||||||
7. Приведенные частоты |
р = ш |
о |
2 р |
( 1 __V 2 ) |
|
|
||||
|
И0 |
|
----— защемленной |
|||||||
|
по контуру конической оболочки при учете (р) |
|
||||||||
и пренебрежении (р*) тангенциальными силами инерции |
|
|||||||||
|
а = 15°, |
г = 0 ,3 , |
/<о |
|
=0,03, |
Я0 = |
/ $ т а |
|
||
|
Р |
Р* |
|
|
|
|
|
|
Р |
Р* |
2 |
0,0852 |
0,1214 |
|
|
7 |
|
0,9771 |
1,0058 |
||
3 |
0,0996 |
0,1012 |
|
|
8 |
|
1,6479 |
1,6888 |
||
4 |
0,1506 |
0,1543 |
|
|
9 |
|
2,6248 |
2,6828 |
||
5 |
0,2861 |
0,2955 |
|
|
10 |
|
3,9925 |
4,0718 |
||
6 |
0,5430 |
0,5621 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение метода Ритца. Выражение для потенциальной энергии |
||||||||||
деформации |
конической |
оболочки |
имеет |
вид |
|
|
||||
2я |
ха |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/=4"1 |
а<р 1 { 1 |
[(вп + <%а)2- |
|
2 (1- |
V) (е11е22 - |
<&)] + |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ЬО [(^11 Н“ ^22)^ — 2 (1 — V) 0*11^22 |
|
ДС51П а |
(60) |
|||||||
Выражение для кинетической энергии |
будет |
|
|
|||||||
|
|
2я |
|
х я |
|
|
|
|
||
|
т— г 1 * 1 * > 5 [ ( т г ) ’ + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
Пусть оболочка оперта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ш = и2 = |
Тп = М ц |
|
= 0 ; |
|
(52) |
||||
тогда для перемещений удобно выбрать следующие выражения:
и\ -= Ах (х зт |
а)3 соз |
тп (х — д^) |
зт |
лф; |
|
||
|
|
|
|
I |
|
|
|
и2 = |
А2 (х зт а)2 зт |
пт (х— хх) |
соз Лф; |
(53) |
|||
т = |
в , |
. |
т |
тп (х — Хх) |
|
_ |
|
Л3 (х з!п а)3 з |
----- --------- — зт |
лер. |
|
||||
Формулы (53) удовлетворяют, вообще говоря, лишь кинематическим граничным условиям (52), а в случае цилиндрической оболочки удо влетворяют также динамическим граничным условиям. Подстановка
460 |
Колебания оболочек |
|
|
|||
выражений (53) в формулы (50) |
и |
(51) |
и применение |
вариационного |
||
принципа |
Гамильтона приводит |
к |
уравнениям Лагранжа |
|
||
|
й_ |
|
= |
0 (/ = 1. 2, |
3). |
(54) |
|
|
|
||||
Подставляя в однородную систему уравнений (54) выражения
А( = ас с08
и приравнивая определитель нулю, можно найти уравнение частот
со4 -}- ^2(о2 |
= 0 . |
Эта задача рассмотрена Э. И. Григолюком [20]. Результаты вычисле ний минимальных значений безразмерной частоты
к
при различных углах полурастворах и отношениях Ко приведены
в табл. 8. В скобках приведены соответствующие числа п волн в окруж ном направлении.
|
|
|
|
|
|
0(1 — V*) I ' |
колебаний |
|
||||
опертой конической оболочки |
|
|
[ --------------------— |
|
|
|||||||
при различных углах |
|
полураствора а |
|
|||||||||
|
|
и отношениях —=— |
(К0 = (з1па) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
/1 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Яо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,02 |
0,01 |
|
0,005 |
|
0,002 |
0,001 |
||||
3 |
|
|
|
0,141 (2) |
0,0769 (2) |
0,0474 (4) |
0,0340 (5) |
|||||
5 |
|
0,281 |
(2) |
0,0967 (3) |
0,0623 (5) |
0,0448 (6) |
||||||
10 |
0,419 (2) |
0,193 (3) |
0,138 |
(4) |
0,0895 (6) |
0,0656 (7) |
||||||
15 |
0,335 (3) |
0,236 (4) |
0,169 |
(5) |
0,112 |
(7) |
0,0814 (8) |
|||||
20 |
0,479 (3) |
0,381 |
(3) |
0,287 (5) |
0,199 |
(5) |
0,130 (7) |
0,0950 (9) |
||||
26 |
0,519 (3) |
0,432 |
(3) |
0,311 (5) |
0,223 (6) |
0,148 |
(8) |
0,107 |
(9) |
|||
30 |
0,562 (3) |
0,467 |
(4) |
0,337 (5) |
0,244 (6) |
0,161 |
(8) |
0,119 |
(9) |
|||
35 |
0,607 (3) |
0,499 |
(4) |
0,362 (5) |
0,264 (6) |
0,174 |
(8) |
0,128 |
(10) |
|||
40 |
0,652 (3) |
0,529 |
(4) |
0,386 (5) |
0,282 |
(6) |
0,187 |
(8) |
0,138 |
(10) |
||
45 |
0,693 (3) |
0,559 |
(4) |
0,408 (5) |
0,299 |
(6) |
0,198 |
(8) |
0,147 |
(10) |
||
50 |
0,729 (3) |
0,586 |
(4) |
0,430 (5) |
0,315 (6) |
0,210 |
(8) |
0,156 |
(9) |
|||
55 |
0,757 (3) |
0,614 |
(4) |
0,452(6) |
0,331 |
(6) |
|
0,223 |
(8) |
0,165 |
(9) |
|
60 |
0,776 (3) |
0,644 (4) |
0,479 (6) |
0,350(6) |
|
0,231 |
(7) |
0,172 (9) |
||||
65 |
0,789 (3) |
0,688 (4) |
0,493 (4) |
0,361 |
(5) |
|
0,243 |
(7) |
0,182 (8) |
|||
70 |
0,809 (3) |
0,696 (3) |
0,504 (4) |
0,376 (6) |
|
0,256 (6) |
0,194 (8) |
|||||
75 |
0,877 (3) |
0,701 |
(3) |
0,548 (4) |
0,400 (4) |
|
0 276 |
(6) |
0,207 (7) |
|||
80 |
0,891 (2) |
0,810 (3) |
0,553 (3) |
0,432 (4) |
|
0,298 |
(5) |
0,229 (6) |
||||
85 |
0,963 (2) |
0,779 |
(2) |
0,643 (2) |
0,488 (3) |
|
0,358 |
(4) |
0,283 (3) |
|||
87 |
|
0,988 |
(2) |
0,671 |
(2) |
0,564 |
(2) |
|
0,400 |
(3) |
0,322 (4) |
|
|
П р и м е ч а н и е . |
В скобках |
указано число волн |
в окружном |
||||||||
направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение асимптотического уетодо, к расчету оболочек 461
ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ОБОЛОЧЕК НА КОЛЕБАНИЯ
Общие соотношения. Понятие об асимптотическом методе В. В, Бо лотина было дано в гл. 7. Здесь рассмотрим его применение к тонким упругим оболочкам постоянной толщины [6, 8 ). Если характеристиче ские длины волны и Я,2 у форм колебаний достаточно малы по сравне нию с радиусами срединной поверхности ^ и то уравнения для форм собственных колебаний могут быть взяты в виде системы уравнений (15)
О ДДт + |
- 5—- |
|
1 |
|
— р/ш2до = 0; |
дх\ |
■+ |
дх: |
|||
|
Кг |
#1 |
|
||
1 АД |
/ |
* |
|
|
(55) |
|
+ ж |
|
|||
ЕН |
( т г |
|
|
||
Асимптотическое |
решение |
уравнений |
(55) для прямоугольной |
||
(в обобщенном смысле) области со сторонами а1 и а2 и с постоянной
метрикой срединной |
поверхности дано в статье |
[6 ]. В частности, |
для |
|
собственных частот получена формула |
|
|
||
(О2 |
№ |
+ 4 Л |
(бв) |
|
п |
(*? + *!)2 У |
|
||
предполагается конечным). Волновые числа |
||||
где у = т - (радиус |
||||
Кг |
|
|
|
|
и к2 вычисляют из системы трансцендентных уравнений (условий
склеивания) |
следующего |
вида: |
|
|
|
|||
М |
1 |
= |
агс1е «п (*1. |
*г) + |
агс(§ и12 (к1г |
кг) Ч -я^я; |
| |
|
к2аг |
= |
агс(§ и„л |
(й1( |
к.,) + |
агс1е « аг (*ь |
йг) + т 2я; |
| |
|
здесь /лх, т 2 — целые числа или нуль, а функции иа$ (кг> к2) зависят от граничных условий. Для свободно опертых краев все функции «аЗ (&1, кг) обращаются в нуль, а асимптотическое решение совпадает с хорошо известным точным решением.
Область применения асимптотического метода. Асимптотическое ре шение пригодно на всей плоскости волновых чисел кх, к2 за исключе нием областей вырождения краевого эффекта (подробнее см. статью [6]). Например, динамический краевой эффект не вырождается для тонких пластин и тонких сферических оболочек. Для цилиндрической оболочки краевой эффект вырождается лишь в случае достаточно малых волно
вых чисел
_1_
2
к\ + к\ г
Если характеристическое уравнение, соответствующее дифферен циальному уравнению динамического краевого эффекта, имеет комплекс ные корни, то краевой эффект называют осциллирующим. Если все корни характеристического уравнения, кроме пары чисто мнимых корней,
Применение асимптотического метода к расчету оболочек 463
где V? (*х) и X (*1) определяют по формулам
|
И7 (*,) = |
|
{(*! + 4) |
[5*“ |
*1 (*1 - |
I]) - |
С 1е_5,Х1] + |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
<8,с4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( * ? + ф 2+ с4 |
|
|
|
|
|
|||
|
X (*,) = з т |
йх (*1 — Ь ) + |
|
+ |
Сге~~к'х‘ + |
х1С3е~к!Х'\ |
||||||
здесь |
51 = |
(к\ + |
2к\) 2 . Постоянные |
| 1т |
|
С2 и С3 определяют из |
||||||
граничных |
условий |
[8]. Пусть на |
краю |
заданы |
условия |
№ (0) = |
||||||
= |
(0) = |
X (0) = |
X' (0) = |
0. |
Тогда ^ |
А1Е1 = |
^1 №1. **)> |
г*е |
||||
|
|
М * » . |
|
|
<— а |
|
(*>• *а) . |
|
||||
|
|
|
1 — 51 |
|
*.) |
’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 М 5?+ *?)*" |
|
|
|
|||
|
|
|
|
(А ? + ^ |
( , 1+Й 2) |
[(&5 + ^ |
+ с 4] • |
|
||||
Волновые числа находят из уравнений типа (57):
М 1 = |
2 агс!§ |
|
I —й |
(Й1, |
й2) |
+ |
я^л; |
|
|
|
|
||||
|
|
1— |
|
*з) |
|
|
|
к2а2 = |
2 агс1§ |
|
I — й (» 1 . й2) |
+ |
т 4я. |
||
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
52 |
(^1* *г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция #2 (й2, й2) получается из |
(к1, й2) круговой заменой ни- |
||||||
дексов. |
|
|
|
|
задаче о свободных коле |
||
Некоторые другие приложения метода. К |
|||||||
баниях круговых цилиндрических оболочек и панелей асимптотический метод был применен Ю. В. Гавриловым {14, 15]. У прямолинейного края хг — 0 асимптотическое выражение для разрешающей функции
имеет вид |
|
|
ф (*1. х2) = [з1П к2 (х2— ^2) Н- |
+ |
|
+ Сге~5гХ* + С-*- ***'] з т й, (хг — |
|
|
где |
2 |
_1_ |
1 |
||
51= (2к\ + 4) 2 » |
®2. 3= *1 ^ 1 * |
| |
Для характеристических |
корней, описывающих |
краевой эффект |
у круговых кромок, явных выражений получить не удается. Численный анализ был дан в статье [14]. Применение асимптотического метода к тонким оболочкам при наличии начальных усилий к срединной по верхности дано в статье [8].