Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

464 Колебания оболочек

Оценки для плотности собственных частот тонких упругих оболочек. Из формулы (57) можно вывести следующее более грубое приближение:

кхах = тхп + 0 (1 ); к2а2 = тгп + О (1).

(58)

Формулы (58) аналогичны хорошо известным асимптотическим оцен кам Р. Куранта для мембран и тонких пластин. Существенно, что для оболочек эти асимптотические оценки верны лишь в том случае, если динамический краевой эффект не вырождается.

Асимптотические формулы (56) и (58) можно использовать для полу чения оценок для плотности собственных частот преимущественно изгибных колебаний. Будем определять приближенно число собствен ных частот N (о*), меньших, чем заданное значение ю*, как отношение площади области на плоскости кх, /г2, внутри которой частота «в меньше,

чем заданное значение ш*, к площади одной ячейки аха2

N (о.) ' 01°2 \|	\| «й, Лк*.
<а (*,.	Ьл) < <

Подробности вычислений см. в статье [35]. Для среднего числа собственных частот, меньших заданного значения со, имеем формулу

№<«)	( ^ ) 2 \ [®* -с о Н у с о з’ е + з.п’ в)2] 2 «е. (59)

В этой формуле 0)а — характерная частота,

Интегрирование в формуле (59) производится по той части квадранта кх ^>0, к2>> 0, внутри которой выражение, стоящее в квадратных скобках, положительно. Дифференцируя почленно формулу (59), для плотности собственных значений п (©) получаем формулу

п (со) ■ -		+	__ 1_
п (со) ■ -	2п2	( ^ г ) 2 © \| [(О2 — ©зСуСОЗ2 © + 81П2 6 ) 2]	М.
	2п2

(60)

Пусть пс? — характерная плотность собственных значений:

(61)

Выражение, стоящее в правой части формулы, совпадает с плот ностью собственных частот для тонкой пластины. Удобно ввести без

размерный параметр а = - ^ 1 . Всегда можно занумеровать координаты

Применение асимптотического метода к расчету оболочек 465

х2так, что у =	—гг~ ^	1. В этом случае вычисления по формуле (60)
	■*»2			(61)		дают
с использованием обозначения				(61)		дают
			0 ,	если		1 — ау <0 ;
	2	_______ к				Г л /	0( 1	2а (1	у)	1
я 1^(1 + а)		(1	— ау)		А [К		0( 1	( (11	ау) ] ’
я 1^(1 + а)			— ау)			' I. ^		+ао)
*(а>)		если		1 — ау >0 , а < 1 ;
*(а>)	2						+	а)(1 — ау) 1		(62)
"с	2						+	а)(1 — ау) 1		(62)
"с	я!^2 а( 1						2 а (1 - V )		Г
		если		1 ■ ау >0 , а> 1 ;
	V I — а?			если		1 — ау >0 , у = 1 .
	V I — а?
Здесь К (х) — полный эллиптический интеграл в форме										Лежандра

первого рода. Последняя формула (62) соответствует случаю сфериче ской оболочки.

Точки сгущения частот свободных колебаний тонких упругих оболочек. Формулы (62) позволяют обнаружить интересные свойства

плотности	частот свободных колебаний	тонких упругих оболочек п.
Пусть	со2 — характерные частоты,
	1	1

Используя обозначения (63), можно сформулировать выводы из статьи [35]: плотность частот свободных колебаний для оболочки

положительной гауссовой	кривизны равна	нулю при 0 < (0 «< о>1т
имеет полюс при © = й)а и приближается		к плотности	собственных
частот для пластины при	© 1> ©а (рис. 20).	Аналогичные	результаты

получаются для оболочки нулевой гауссовой кривизны; в этом случае,

однако,	0 и, следовательно, плотность частот отлична от нуля
во всем	диапазоне. Частоты свободных колебаний оболочки отрица

тельной гауссовой кривизны имеют две точки сгущения: одну — вблизи

466	Колебания оболочек

м = ©х и другую — вблизи © = юа. С увеличением частоты плотность быстро приближается к значению плотности для пластинки пс (рис. 21).

Обсуждаемые здесь точки сгущения принадлежат лишь асимпто тическим оценкам распределения собственных частот. Эмпирические плотности частот будут иметь соответствующие максимумы лишь в том случае, если плотность Р. Куранта достаточно высока. Сопоставление асимптотических оценок с эмпирическими данными проведено в статье [35].

	Л И Т Е Р А	Т У Р А
1. А г е н ос о в	Л. Г. Устойчивость н колебания защемленной кони
ческой оболочки. Сб.	«Итоговая научная	конференция Казанского универси

тета за 1963 г., секции: математика, кибернетика л теория вероятности, меха ника». Казань. 1964.

2. А л у м я э Н. А. О фундаментальной системе интегралов малых осе симметрических установившихся колебаний упругой конической оболочки

вращения. «Изв. АН Эстонской ССР, т. 9. Серия технических и физико-мате матических наук», 1960, № 1.

3. А м б а р ц у м я и С. А., X а ч а т р я н А. А. Об устойчивости н колебаниях пологой ортотропиой цилиндрической панели. Доклады АН Армянской ССР, т. 30, № 1, 1960.

4.Б о л о т и н В. В. Некоторые новые задачи динамики оболочек. «Расчеты на прочность». Вып. 4. Машгнз, 1959.

5.Б о л о т и я В. В. и др. О поведении тонких упругих оболочек при воздействии импульсивной нагрузки. «Строительная механика н расчет соору жений», 1959, № 12.

6.Б о л о т и и В. В. Краевой .эффект при колебаниях упругих обо лочек. ПММ, т. 24, .N0 5, 1960.

7.Б о л о т и н В. В. Асимптотический метод в теории колебаний упру

гих пластин и оболочек. Труды Всесоюзной конференции по теории пластин

иоболочек. Казань, КФАН СССР, 1961.

8.Б о л о т и н В. В. О влиянии безмоментного напряженного состояния на спектры собственных колебаний тонких упругих оболочек. «Изв. АН СССР,

Механика и машииостроспнс», 1962. № 4.

9.Б р е с л а в с к и й В. Е. О колебаниях цилиндрических оболочек. Инженерный -сборник, т. 16, 1953.

10. Б р с с л а в с к и й В. Е. Собственные колебания круговой цилин дрической оболочки, находящейся под действием гидростатического давления.


«Изв. АН СССР, ОТН», 1956,			№ 2.	поперечные			колебания орто-
11.	Б у р м и с т р о в	Е.	Ф. Нелинейные	поперечные			колебания орто-
тропных	оболочек вращения.		Инженерный сборник.		Т. 26,		1958.
12.	В а и - Ф о - Ф ы	Г.	А., Б у й в о л	В.	Н.	Колебания пологих
сферических оболочек. Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболо
чек и пластин. Ереван, изд-во АН Армянской ССР, 1964.
13.	В е й г с л ь И.,	М я н н н л ь А.,		О р г	Э.	Малые установив

шиеся осесимметричные колебания конической оболочки вращения. «Изв. АН Эстонской ССР. Серия технических и физико-математических наук», т. 9,

№1, 1960.

14.Г а в р и л о в Ю. В. Определение частот собственных колебаний тонких упругих круговых цилиндрических оболочек. «Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение». 1961, № 1.

15.Г а вр и л о в Ю. В. Исследование спектра собственных колебаний упругих цилнпдркяеских оболочек. Труды Всесоюзной конференции по тео рии пластин и оболочек. Казань, КФАН СССР, 1961.

16.Г о д з е в н ч В. Г. Свободные колебания круговых конических оболочек. Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.

Ереван, изд-во АН Армянской ССР, 1964.

17. Г о и т к е в и ч В. С. Собственные колебания ортотропных цилин дрических оболочек. Труды конференции по теории пластин и оболочек. Ка зань. КФАН СССР. 1961.

18.Г о н т к е в и ч В. С. Собственные колебания пластинок и оболо чек. Киев, «Наукова Думка», 1964.

19.Г р и г о л ю к Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней. «Изв. АН СССР, ОТН», 1955, № 3.

20.Г р и г о л ю к Э. И. О малых колебаниях тонких упругих кони

ческих оболочек. «Изв. АН СССР, ОТН», 1956, № 6.

Литература	467
21. И в а и ю т а Э. И., Фи и к е л ь ш т с й и	Р. М. О влиянии тан

генциальных сил инерции на величину частоты свободных колебании тонкой цилиндрической оболочки. Сб. «Исследования по упругости и пластичности».

Вып. 2, ЛГУ, 1963.		Р.	Л.	Колебания	нскруговых цилиндрических		обо
22.	М а л к и н а
лочек.	«Изв. АН СССР, ОТН. Механика				и машиностроение», 1960, №		1.
23.	М ал к и и а	Р. Л. Свободные колебания сферического купола. Изв.
вузов,	«Авиационная	техника»,		1964, №	1.		Сб.
24.	М о с к а л е и к о		В.	Н. О колебаниях конических оболочек;
«Доклады научно-технической				конференции МЭИ, секции энергомашинострое
ния, подсекция динамика			и прочность машин» М., Изд. МЭИ,			1967.
25.	И н г у л У. К.		Об общих формах колебания круговой			замкнутой

цилиндрической оболочки. Труды Таллинского политехнического института, серия А. № 147, 1958.

26. Н и г у л У. К* Некоторые результаты исследования уравнений собственных колебаний упругой кругоцилиндрнческой оболочки. Труды Тал линского политехнического института, №. 171А, 1960.

27. Н и к у л и н М. В. Влияние осевых усилий на частоты собственных колебаний цилиндрической оболочки. Сб. «Прочность цилиндрических обо


лочек».	М., Оборонгнз,			1959.		Д.	Некоторые динамические			задачи теории
28.	О и и а ш в и л и				О.
оболочек. Изд-во АН СССР, 1957.								Малые неосесимметричные
29.	П о в с р у с		Л. Ю.,			Р я я м е т Р. К.
собственные колебания				упругих товкнх конических					и цилиндрических		обо
лочек. Труды Таллинского, политехнического института, серия А, № 147,											1958.
30.	Т р а п с а н и			И.	И.	О	колебаниях круговой тонкостенной				кони
ческой	оболочки. Сб.		«Расчеты на				прочность». Вып. 4, М., Машгкз,				1959.
31.	Ш в е й	но	ГО.		.Ю.,		Г а в р и л о в	Ю.	В.,	Б - р у с н л о в -
с к и й	А. Д.	О влиянии			граничных условий на спектр собственных частот

цилиндрических оболочек. Доклады научно-технической конференции МЭИ.

М., нздво МЭИ.		1965.		V а г Ь и г 1 о п	О. В. Р1ехига1 уИагаПопз оЕ ЕЬе
32.	А г п о 1б	К. N..
\уа11з о? ЕЫп су1тбпса1			зЬеНз Ьау1п& 1гее1у зиррогЕеб епбз. Ргос.					Ноу. 5ос..
Уо1. 197А, п. 1049, 1949.				\у а г Ь и г 1 о п	С. В. ТЬе	!1ехига1		У1ЬгаНопз
33.	А г п о 1 4	К.	N..
оГ ЕЫп	суПпбегз. Ргос. 1пзИ. МесЬ. Еп^гз.. уо1. 167А, п. 1, 1953..
34.	В а г о п	Ь.,	В Е е г с Ь Н. Н. ТаЫе$ Еог ЕгециспЫез					апб тобез
оЕ Сгее уПэгаНоп. оЕ 1пЕ1пНс1.у 1опе ЕЫп су1шбпса1 зЬеНз.						Лоигп*	Арр1. МесЬ.
уо1. 21,	п. 2, Г954.			ТЬе бепз1Еу оЕ е10епуа1исз т		У1*ЬгаЕ1оп ргоЫешз
35.	В о I о 1 ! п V. V.
оЕ е1азЕ!с р!аЕез апб: зЬеНз.				Ргос. У\|ЬгаНоп ргоЫешз, уо1. 6, п. 4,			1965.

36.Р о г з Ь е г е К. 1п!1иепсс оЕ Ъоипбагу сопбШопз оп ЕЬе тоба! сЬагасЕег!зЕ1сз оЕ ЕЫп суИпбпсаЕ зЬеНз. А1АА Лоигпа1. уо1. 2, п. 12. 1964.

37.Р и п е V. С. Оп ЕЬе у1Ьга11опз оЕ ЕЫп су1тбпса1 зЬеНз ипбег 1пЕегпа1 ргеззиге. Л. АегопаиЕ. Зек, у. 24. п. 9, 1957.

38.

Н е г г т а п п

О.* М 1 г з к у

А.

ТЬгее-б1тепз!опа1

апб

зЬеН-

ЕНеогу апа1узГз оЕ

ах1а11'у зуттеЕгк

тоИопз о! суПпбегз. Лоигп. Арр1. МесЬ.,

уо1. 23, п. 4. 1956.

\У. Н. 5оте сЬагасЕепзНс5 оЕ ЕЬе Пеихига!

уаЬга-

39-

Н о р р т а п п

Е1опз оЕ огЕНодопаИу зИЕЕепеб суПпбг1са1 зЬеНз.

Лоигп.

АсоизЕ. Зое.

Ашег.,

уо1. 30, п. 1, 1958.

>у. И.,

М 1 1 I е г

С. Е.

Р1ехига1 уПэгаПоп оЕ зЬа1-

40.

Н о р р т а п п

1о\у огЕЬоЕгор!с зрЬепса! зйеИз; Лоигп. АсоизЕ. Зое. Атсг., уо1. 34,

п. 8, 1962.

41.

К а 1 п 1 п з

А.,

М ае К<1 Е Р- М.

Ах1зуттеЕг1с у[Ьга11опз оЕ зЬаЬ-

1оиг е1азЕ1с грЬегаса!

зЬеНз.

Лоигп. АсоизЕЗое.

Атег., уок 32, п. З-,

Г960.

42.

М г г з к у

Л.,

Н е г г т

а п- ге

О.

Ах1аИу 5утте4гйг тоЕтолэ о!

ЕЫск суНпбпса! зЬеНз.

Лопгп.. Арр1. МесЬь,

чо1.. 2;1К п. 2Г 1954*.

шаИопз оЕ

43*. N а я Ь б 1

Р.

М.

В.с г г. у

Л. В-

Оп

ЕЬе с^.иаЕ^опз оГ

су11пбНса1 зпеНз. Лоигп. Арр1. МесЬ., уо1. 21, п. 2, 1958.

44.

Р о I 5 з оп

О. Мбшо1ге зиг ГбциШЬге-еЕ Ге

шоитешепЕ без согрз.

заИбез.

Раг1з,

Мет.

бе

Гасаб.,,

1829'.

Лоигп. АсоизЕ. Зое.

4-5.

Р г аз

а б

С.

Оп у1ЬгаИоа о! зрЬепса! зЬеНз.

Атег.,

уо1. 36,

п.

3, 1964.

46.Д е Г з з п е г Е. ОпахГзутте4г1са1' У1ЬгаПопз о? зЬаИоту зрЬег!са1 зЬеН$* ОиагЕ. Арр1. МаЕЬ„ уа1_ ЬЗ,. п. 3* 1955*

47.\№е ! п е а г Е е п V. I. Ргее у1ЬгаЫоп оЕ 1Ып суПпбпса1 зЬеНз.

А1АА Лайта!. уо1. 2, п. 4* 1964.

48.Ха т а п е Л. К. ИаЕига1Ггециепсу сигУезоЕ з!тр1у зиррогЕеб суПпбг1са! зЬеНз. А1АА Лоигпа1, уоЕ. 3, п.. 1* 1965.

49.V и V. V. Ргее у!ЬгаЕ1опз оЕ ЕЬЕп су!1пбг1са1 зЬеНз Ьау1пв Пп11е. 1епвЕЬ

\уНЬ Егсе!у зиррогЕеб апб сТатреб ебвез. Лоигп. А!»р1МесЬ., уо1. 22, п. 4, 1955.

Глава 9

ТЕОРИЯ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ

ВВЕДЕНИЕ

Предмет теории аэрогидроупругости. Предметом теории аэрогидро- упругости является исследование поведения конструкций, взаимодей ствующих с газом или жидкостью. В задачах аэрогидродинамики тела, внесенные в газ или жидкость, предполагают абсолютно жесткими. В задачах аэрогидроупругости учитывают упругие деформации тел. Более того, существенным моментом теории аэрогндроупругости яв

ляется учет обратного влия ния деформаций тела на дви жение газа или жидкости.


	Следовательно,				теория аэро
	гидроупругости				является
	комплексной областью меха
	ники,	в которой объединены
	методы теории				упругости		и
	строительной				механики,		с
	одной стороны, и методы аэро
	гидромеханики — с					другой
	стороны. Поскольку большая
	часть	аэроупругих				явлений
	носит	динамический				харак
	тер, то в		теории аэрогидро
	упругости		широко			исполь
Рис. 1	зуют методы			теории		колеба
	ний.	Место		статических			и

динамических задач аэрогидроупругости наглядно иллюстрирует «тре угольник аэроупругости» (рис. 1). В современных конструкциях суще ственное значение приобретает также и температурный фактор, что дает основание говорить о задачах аэротермоупругости. Наконец в случае достаточно гибких конструкций упругие деформации могут оказывать заметное влияние на устойчивость движения и процессы управления (и обратно). Следовательно, в общем случае нужно учитывать слож ное взаимодействие аэродинамических сил, сил инерции, сил упругости, температурных процессов и процессов в системах управления. В настоя щей главе мы не рассматриваем задачи аэрогидроупругости в столь общей постановке, а ограничимся более классическими задачами.

Статические задачи аэрогидроупругости. Простейшей статической задачей аэрогидроупругости является определение квазистатических

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/74208

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009