Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

поршень, движущийся в одномерном канале. Отсюда происходит второе название данного подхода — поршневая теория. Выражение для давления на тело согласно нелинейной поршневой теории имеет вид

тонкие тела, которые движутся в потоке жидкости или газа, посвящена обширная литература [4, 5, 12, 14, 15, 24, 27, 28, 31, 39, 43, 52, 67, 74]. Изложение этого вопроса применительно к задачам аэроупругости можно найти в книгах [4, 15, 39, 67]. Приближенные формулы для боль­ ших сверхзвуковых скоростей приведены в статьях [27, 31, 74]; сопо­ ставление этих формул дано в книге [15]. Области применения различ­ ных аэродинамических теорий приведены в табл. 1 [39]. В этой таблице

к— приведенная частота по выражению (7); 6 — отношение толщины или амплитуды к хорде крыла; Ь — удлинение (отношение длины крыла

кхорде).

ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОУПРУГОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ

Предварительные замечания. Рассмотрим задачи аэрогидроупру­ гости для конструкций, которые можно рассматривать как стержни. Важнейшим примером могут служить крылья достаточно большого удлинения. Методика расчета крыльев на флаттер и дивергенцию пред­ ставляет собой весьма разработанную область теории аэроупругости. Здесь рассмотрим теорию флаттера и дивергенции крыльев в простейшей постановке и некоторые неклассические задачи аэрогидроупругости для стержней. Подробнее см. работы [4, 24, 67].

Уравнения малых колебаний крыла в потоке газа. Будем трактовать крыло как упругий стержень, жесткость которого в одном направлении максимальна и весьма велика по сравнению с другой изгибной жест­ костью ЯУ, а также с крутильной жесткостью *. Ось центров из­ гиба Оу полагаем прямой, направленной перпендикулярно к потоку

здесь т — масса крыла на единицу длины (вдоль размаха); х,п — рас­ стояния между осью центров изгиба и осью центров масс; г — радиус инерции сечения относительно цент­ ра изгиба; Ь п М у — линеаризиро­ ванные выражения для подъемной силы и момента, отнесенных к еди­

нице длины крыла.

Вообще говоря, сила /, и мо­ мент Му выражаются через пере­ мещение Vи угол 0 весьма сложно. В случае, если крыло достаточно длинное и его параметры вдоль раз­ маха меняются медленно, вычисле­ ния можно упростить, трактуя при­ ближенно поток в каждом сечении как плоский. Тогда сила I и момент М у могут быть определены по фор­ мулам типа (6) и (9).

Дивергенция крыла. Рассмотрим некоторые стационарные решения системы (12). Допустим, что в стационарном случае сила Ь от переме­ щения V не зависит, а момент М у выражается через эмпирический коэффициент см (6) следующей формулой:

Тогда второе уравнение системы (12) может быть рассмотрено неза­ висимо. После линеаризации относительно угла 9 оно принимает вид

где I — длина крыла. При 1} — 0 краевая задача не имеет никаких решений, кроме тривиального решения 0 = 0 . Минимальное значение скорости {/, при котором краевая задача имеет решения, отличные от тривиального, соответствует разветвлению форм равновесия. При этом значении наряду с тривиальной (незакрученной) формой появляется смежная с ней форма равновесия, которая сопровождается закручива­ нием крыла. Исследование соответствующей неоднородной задачи пока­ зывает, что приближение к указанной скорости ведет к резкому нара­

станию углов закручивания — к дивергенции крыла. Дивергенция крыла является полным аналогом обычной статической неустойчивости в упру­ гих системах, а метод определения критической скорости дивергенции — полным аналогом метода Эйлера в теории упругой устойчивости.

В случае крыла постоянного сечения уравнение (14) и краевые усло­ вия (15) весьма упрощаются:

= 0,

где

к*.

рУЧ* 2^^к <90

Нетривиальные решения имеют место при соз Ы = 0; отсюда крити­ ческая скорость дивергенции

Изгибно-крутильный флаттер крыла. Подстановка в уравнения (12)

о собственных значениях. Цель состоит в исследовании поведения пока­

вости (флаттер). Исключение составляет случай, когда переход осуще­ ствляется через точку 5 = 0 ; этот случай, очевидно, соответствует ди­ вергенции (рис. 6, б). При изгибно-крутильном флаттере существенное значение имеет парное взаимодействие различных степеней свободы. Эта сторона становится особенно ясной, если от системы с бесконечным числом степеней свободы перейти к конечномерной системе. Наиболее