Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А
2.14. |
а) |
ln(x2 3) dx , |
||
2.15. |
а) |
(3 7x) e 8x dx , |
||
2.16. |
а) arccos(2x 1) dx , |
|||
2.17. |
а) (8 3x) cos(5x 1) dx , |
|||
2.18. |
а) x 52 3x dx , |
|||
2.19. |
а) |
ln(3 5x) dx , |
||
2.20. |
а) |
arcsin |
8x |
dx , |
|
||||
|
|
3 |
|
|
2.21. |
а) |
x sin(3x 5) dx , |
||
2.22. |
а) |
x ln(2x 3) dx , |
||
2.23. |
а) |
ln(5 x2 ) dx , |
||
2.24. |
а) |
(x 2)e 2x dx , |
||
45
б) |
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
|
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x |
2 |
|
3x |
9 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
5x 1 |
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
x 7 |
|
|
|
dx . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
5x 9 |
|||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 5 |
||||||||||
б) |
|
|
|
|
7x 2 |
|
|
|
dx . |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5x |
|
|
x 3 |
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x 2x 5 |
|||||||||||
б) |
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2x 7 |
||||||||||
б) |
|
|
3 2x |
|
dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
|
8x 5 |
|
dx . |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
x 1 |
|||||||||
2.25. |
а) |
|
|
arcsin(1 x) dx , |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 |
|||||||||||||||
2.26. |
а) |
|
|
x ln(1 x) dx , |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4x |
2 |
4x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
2.27. |
а) |
|
(x 2) cos |
x |
dx , |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 5 |
||||||||
2.28. |
а) |
|
|
arccos2x dx , |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
dx . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
1 |
|||||||||
2.29. |
а) |
|
(x 1) ln x dx , |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 10 |
|||||||||
2.30. |
а) |
|
x ln(x 1)dx , |
б) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
|
2x 3 |
|||||||||||||||||||
Задача №3. Вычислить:
|
arctg |
|
|
|
|
3.1. |
3x 1 dx. |
||||
3.3. |
(3x 4)e3x dx . |
||||
3.5. |
(1 2x)e2 x dx. |
||||
|
arctg |
|
|
|
|
3.7. |
|
4x 1dx |
|||
3.9. |
(5x 2)e3x dx. . |
||||
3.11. (2 3x) sin 2xdx. . 3.13. e 3x (2 x)dx.
3.2.(2x 5) cos 4xdx. .
3.4.ln(x2 4)dx.
3.6.(4 16x) sin 4xdx. .
3.8.(4x 2) cos 2xdx. .
3.10.e 2 x (4x 3)dx.
3.12.ln(x2 4)dx. .
3.14.arctg 
3x 2 dx.
46
3.15. (5x 11) sin 4xdx. .
3.17. e 3x (2 9x)dx.
3.19. (x 5) sin 3xdx. .
3.21. (4x 7) cos 3xdx. .
3.23. (2 4x) sin 2xdx..
3.25. (3x 2) cos 5xdx. .
3.27. (4x 3) sin 5xdx..
3.29. (7x 10) sin 4xdx. .
3.16. e 2 x (2 9x)dx.
3.18. x cos xdx. sin 3 x
3.20. (4x2 1) ln x dx.
3.22. xdx . sin 2 x
3.24. (2x 1) ln x dx.
3.26. xdx . cos 2 x
3.28. ln(2x2 1)dx.
3.30. x sin 2 xdx.
Задача №4. Найти неопределённые интегралы:
4.1. |
x cos x sin x |
|
4.2. |
|
x2 cos x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
dx. |
|||||||||
(x sin x)2 |
|
|
x3 |
3sin x |
||||||||||||||||
4.3. |
|
|
|
(arcsin x)2 1 |
dx. |
4.4. |
tg (2x 1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 (2x 1) |
||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|||||||||||||||||
4.5. |
|
8x arctg 2x |
dx. |
4.6. |
|
|
x3 |
ln x |
dx. |
|||||||||||
|
1 4x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.7. |
|
|
x cos x |
|
|
|
4.8. |
|
|
1 cos x |
||||||||||
|
dx. |
|
|
dx. |
||||||||||||||||
x2 2sin x |
|
(x sin x)3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9. 4arctgx xdx. 1 x2
4.11.1 ln(x 1)dx.
x1
4.13. |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
dx. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x (x 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4.15. |
|
1 ln x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.17. |
|
(arccos x)3 |
|
|
1 |
dx. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||||
4.19. |
|
tg (x 1) |
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cos |
|
|
(x 1) |
|
|
|
||||||||||||||||||
4.21. |
|
|
1 cos x |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||
|
(x sin x) |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.23. |
|
|
sin x cos x |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||
|
(cos x sin x) |
5 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4.25. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.27. |
|
|
|
x ln x |
dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.29. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4.10. |
2 x |
dx. |
||||
|
|
|
|
|
||
|
x (x 1) |
|||||
|
|
|
||||
4.12. x arctg3xdx. 1 9x2
4.14. 1 ln(x 1)dx. x 1
4.16. (arcsin x)4 x dx. 
1 x2
4.18. x2 ln x2 dx. x
xdx
4.20. 
x4 x2 1 .
4.22. tgx ln cos xdx.
4.24.x3 xdx.
x4 1
4.26. |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x 2 |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|||
4.28. |
|
x |
dx. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x (x 1) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
4.30. |
|
|
sin x cos x |
dx. |
|||||||
|
|||||||||||
(cos x sin x)3 |
|||||||||||
48
Задача №5. Найти неопределённые интегралы.
5.13x5 12x3 7 dx.
x2 x
x3 5x
5.3.(x 1)(x 1)(x 2) dx.
5.5.x5 9x3 4dx.
x2 3x
x3 5
5.7.x2 3x 2 dx.
5.9. |
3x4 |
5x2 |
2 |
dx. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
x(x 1)(x 2) |
|
|||||||
5.11. |
|
2x3 5 |
|
dx. |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
x 2 |
|
|||
5.13. |
|
x3 5x2 |
9 |
dx. |
|||||
|
(x 3)(x 1)x |
||||||||
|
|
|
|
||||||
5.15.x3 1dx.
x2 x
5.17. |
|
2x3 1 |
|
dx. |
|
x |
2 |
x |
6 |
||
|
|
|
|||
5.19.2x5 8x3 3dx.
x2 2x
5.21. 2x3 x2 7x 12 dx. x(x 3)(x 1)
5.2. |
5x3 7x 9 |
dx. |
|
(x 3)(x 1)x |
|||
|
|
x3 x 2
5.4.(x 1)(x 1)(x 2) dx.
5.6.2x3 4dx.
x2 3x
x3 2
5.8.x2 3x 2 dx.
5.10. |
x4 3x3 2 |
dx. |
|
x(x 1)(x 2) |
|||
|
|
x3 3
5.12.x2 x 2 dx.
x3
5.14.(x 1)(x 1)(x 2) dx.
5.16. |
|
x3 17 |
dx. |
|
|
2 |
|
||
|
x |
|
4x 3 |
|
5.18.x5 25x3 1dx.
x2 5x
2x3 x 8
5.20.x(x 4)(x 2) dx.
x3 2
5.22.x2 x 6dx.
49