Материал: Руководство к проведению практических занятий по курсу «Математика» во втором семестре. Бырдин А.П., Сидоренко А.А

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4) Если интеграл имеет вид R(sin x, cos x)dx , но

sinx и

cos x входят только в четных степенях,

то применяется под-

становка tgx = t,

,так как

cos2

sin2

2 x

t 2

; cos2 x

tg 2 x

1 t 2

tg 2 x

1 t 2

После подстановки получаем интеграл от рациональной

функции.

Пример.

tgx t

sin

x cos

1 t 2

1 t 2 2

1dt

t c

tgx c.

3tg 3 x

tgx

Пример.

tgx t

1 t 2

cos2 x 4

1 4t 2 4

1 t 2

arctg

4t 2 3

arctg

2tgx

sinm

5) Пусть интеграл имеет вид sinm x cosn xdx . Рассмот-

рим два случая.

а) sinm x cosn xdx , где m и n таковы, что по крайней

мере одно из них нечетное неотрицательное число. Допустим для определенности, что n нечетное. Положим n=2р+1 и преобразуем интеграл:

sinm x cos2 p 1 xdx sinm x cos 2 p x cos xdx

sin m x(1 sin2 x) p cos xdx.

Делаем замену переменной sinx = t, cos xdx=dt. Тогда

x cosn xdx = t m 1 t 2 p dt, а это есть интеграл от ра-

циональной функции от t.

Пример.

sin 3 x

sin 2 x sin xdx

cos

1 t 2 dx

3cos 3

cos x

cos x t


	sin xdx dt

31t 3 1t c

б) sinm x cosn xdx , где m и n неотрицательные и

четные.

Для вычисления интеграла используем тригонометрические формулы:

sin2 x 12 (1 cos 2x), cos2 x 12 (1 cos 2x). 26

Пример. sin 4 xdx	1	(1 cos 2x)2 dx
	2
	2

14 (1 2 cos 2x cos 2 2x)dx 14 [x sin 2x 12 (1 cos 4x)dx]

1 ( 3 x sin 2x sin 4x ) c. 4 2 8

2.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1. Рассмотрим интеграл


		R x, m x, n x,... dx =

									R

1	m , x	1
x, x	m , x		n ,... dx.

Пусть k – общий знаменатель дробей 1/m, 1/n, ... Сделаем

подстановку x= t k , dx ktk 1dt.

Тогда каждая дробная степень х выразится через целую степень t, и подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.

Пример.

x t 6

6t 5 dt

t 3 dt

2 6

t 1

dx 6t

t 3 1 1

dt 6 t

t 1 dt

t 3

t ln

2t 3 3t 2 6t ln t 1 c 2x 33 x 66 x ln 6 x 1 c;

t 6 x.

a ct N


			ax b			ax b
2. Рассмотрим интеграл вида		m	ax b	;	n	ax b
2. Рассмотрим интеграл вида	R x;		cx d	;		cx d	;... dx .
			cx d			cx d

Ничего не изменяется по сравнению с предыдущим случаем, если все подкоренные выражения являются одной и той же дробно – рациональной функцией. В этом случае делаем

замену: ax b t N , где N – наименьшее общее кратное чисел cx d

m, n. Выражаем х: ax b cxt N dt N ; x t N d b t .

Здесь х = φ(t) – рациональная функция от t, поэтому t

– тоже рациональная функция. Значит, и dx t dt является

рациональным выражением. В результате получим интеграл от дробно-рациональной функции.

Пример.

t 3

1 2

6t 2 dt

x 1

t 3 1

3t 4

x 1

t 3

; x

1 xt 3 t 3 ; x

t 3 1

;

x 1

t 3

3t 2 t 3 1 t 3 1 3t 2

6t 2 dt

;

t 3 1 2

x 1

t 3

1 t 3

t 3

t 3 1

t 3

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.10, №№ 17, 27, 33, 40, 62, 112, 124, 129, 130; 4, №№ 1337 1351, 1368 1370, 1372 1378, 1392 1396, 1410 1418].

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл. 10, №№

159, 162, 166, 171, 174, 194, 197, 211], [4, №№ 1428 1435, 1453 1457, 1489, 1492, 1494 1497, 1501], [6, №№ 1707-1780, 1781-1789, 1832-1849, 2012-20217, 2022-2028, 2036-2042, 2090-2112].

Задачи для самостоятельного решения

		Вычислить неопределенные интегралы:
																																																							1						1
																																																							1						1
1. (x2 3x3															x 1)dx.															2.					x4				5 x 3										x														dx.
1. (x2 3x3															x 1)dx.															2.					x4				5 x 3										x														dx.
																																																							x2						x
																																																							x2						x
							2								3																																						x						e		x
							2								3																				x					x													x						e

3.			1			x				2						1 x				2	dx. 4. (2															3					)dx.					5.		e						2						x		3		dx.
			1			x										1 x																																												x
																												x									x	2																	cos 2x
6. (sin x 5cos x)dx. 7.																						sin								cos											dx.					8.																			dx.
6. (sin x 5cos x)dx. 7.																						sin						2		cos							2				dx.					8.				cos					2		x sin					2			dx.
																												2									2													cos							x sin							x
9.				x4					dx.					10.					3 2 ctg2 x										dx.					11.				1 sin3 x									dx.. 12.										ctg2 xdx.
9.	1 x							2	dx.					10.						cos				2		x			dx.					11.							sin	2			x		dx.. 12.										ctg2 xdx.
	1 x																			cos						x															sin				x

13.			sin 2										x	dx.				14.								1 x2									1 x2									dx.					15.												x2					dx.
13.			sin 2											dx.				14.																										dx.					15.												2					dx.
											2																					1			x4																							x					1
								1										1																							1										1
								1										1																							1										1
16.						2		25															dx.						17.																				2			3				dx.
16.						2											x	2					dx.						17.										4 x				2					x	2							dx.
	x																x			5																			4 x									x
			x		2			2													1				1								1															1									1
			x					2													1				1								1															1									1
18.												dx. 19.																								dx.					20.																			dx.
						2		1																			2							3
				x		2																				x	2				x			3															x						4 3
				x																x						x					x																		x								x
																																																									x

		4	x
		4
21. 4x	3				dx.
21. 4x	3		x	3	dx.
			x

22. e x 1

	e x				5x8 1

	cos	2		dx. 23.	x	4 dx.
	cos		x		x
29

Источник: https://studfile.net/preview/16565860/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ