Материал: Руководство по выполнению контрольной работы по эконометрике (110
Казанский институт (филиал) ГОУ ВПО Российский государственный торгово-экономический университет
_______________________________________________________
Кафедра информатики и высшей математики
ТАЛЫЗИН В.А.
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ
Учебное пособие
КАЗАНЬ-2008г.
Введение
При проведении практических занятий осуществляется более углубленное изучение студентами тем дисциплины, развиваются навыки самостоятельного решения конкретных практических задач. Методика проведения практических занятий заключается в совместном решении студентами учебной группы под руководством преподавателя типовых задач небольшого размера по изучаемым темам дисциплины. При этом студенты используют учебные и учебнометодические разработки кафедры по данной дисциплине, а также, в связи со значительным объемом вычислений – калькуляторы. Одна из целей проведения практических занятий – научить студентов использовать при решении задач математические и математико-статистические таблицы.
Эконометрика опирается на массивы данных и достаточно сложные расчеты, поэтому целесообразно некоторые практические занятия проводить в компьютерных классах, т. е. проводить занятия в форме лабораторных работ. Цель лабораторных занятий – выработка у студентов навыков по использованию ПЭВМ в эконометрическом анализе систем, привитие умения по овладению методами научного анализа. При решении таких задач рекомендуется ис-
пользовать ППП Excel, STATGRAPHICS, STATISTICA, MathCAD.
Целесообразно в лабораторный практикум включить следующие темы:
1.Модель парной линейной и нелинейной регрессии.
2.Модель множественной линейной регрессии.
3.Выявление (тесты Спирмена, Голдфелда-Квандта) и устранение гетероскедастичности (ВМНК).
4.Выявление (тест Дарбина-Уотсона) и устранение автокорреляции.
5.Исследование временного ряда.
6.Моделирование сезонных колебаний.
Задачи, предназначенные для решения с использованием компьютера, помечены в сборнике символом (*).
При применении компьютерных пакетов студенты должны как можно больше использовать возможности этих пакетов. Например, построение линейного уравнения множественной регрессии опирается на основы линейной алгебры и для нахождения произведения матриц, обратной матрицы следует использовать встроенные функции МУМНОЖ(-;-), МОБР(-) табличного процес-
сора MS Excel.
Отчет по лабораторной работе должен содержать: исходную информацию, постановку задачи, результаты решения задачи (в таблицах) и анализ полученных результатов.
1. Основные понятия математической статистики, используемые в эконометрике
1.1. Статистическое оценивание
Изучается количественный признак X генеральной совокупности по выборке объема n : x1 , x2 ,..., xn . Признак X характеризуется неизвестным параметром , значение которого
требуется оценить по данной выборке. Различают точечные и интервальные оценки параметра.
Точечной называют статистическую оценку параметра, которая определяется одним
~
числом .
Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно самому оцениваемому параметру при любом объеме выборки
~
M ( ) .
Эффективной называют точечную оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра
~ |
~ |
|
D( ) min D( i |
) . |
|
|
i |
|
Состоятельной называют точечную оценку, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
x 1 n xi .
n i 1
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия
|
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
||
s 2 |
Dв |
|
|
(xi |
x)2 . |
|||||
n 1 |
n 1 |
|||||||||
|
|
i 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Несмещенной оценкой генерального среднего квадратического отклонения (стандар- |
||||||||||
та) является величина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
s |
|
s2 . |
|
||||
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами 1 , 2 - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр с вероятностью . Интервал ( 1 , 2 ) называют доверительным интервалом (он характеризует точность оценки), а величину -
доверительной вероятностью (она характеризует надежность оценки).
Доверительным интервалом для математического ожидания m при нормальном распределении признака X является:
- при известном стандарте
|
|
|
|
x t |
|
|
|
m x t |
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
||||||
- при неизвестном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x tкр |
s |
|
|
m x t |
s |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n |
|
кр |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
Здесь t |
|
|
- точность оценки, t - значение аргумента функции Лапласа (t) (приложе- |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние 1), при котором выполняется равенство (t) / 2 ; tкр - критическая точка распределения Стьюдента (приложение 2), которая находится по двум входным числам: числу степеней
свободы k n 1 |
и |
|
|
1 |
, где |
- заданный уровень значимости. |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения X определяется по формуле:
|
|
|
|
s |
|
n 1 |
s |
|
n 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
/ 2, n1 |
|
|
1/ 2, n1 |
|
|
|
где 2 |
/ 2, n 1 |
, |
2 |
- критические точки |
2 - распределения (приложение 3). |
|||||||
|
|
1 / 2, n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения и объем выборки достаточно велик ( n >30), то справедлива формула:
P( X ) ( |
x |
) ( x ) , |
||
|
||||
|
|
в |
|
в |
где в - выборочное стандартное отклонение, |
(t) - функция Лапласа. |
|||
1. Цена некоторого товара в 20 магазинах была следующей:
50, 48, 47, 55, 50, 45, 50, 52, 48, 50, 52, 48, 50, 47, 50, 48, 52, 50, 50, 48.
На основе этих данных найти:
а) выборочные числовые характеристики; б) несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и средне-
го квадратического отклонения цены товара.
2. За последние 12 лет статистические данные по годовым темпам инфляции
(%) в стране составили:
1,7; 1,2; 2,8; 3,3; 5,1; 1,9; -0,8; 0,3; 2,3; 2,8; 4,0; 3,6.
Найти несмещенные оценки среднего темпа инфляции, ее дисперсии и среднего квадратичного отклонения.
3. Даны результаты 8 независимых измерений веса упаковки сахара прибором, не имеющем систематических ошибок:
369; 378; 315; 420; 385; 401; 372; 383 (гр).
Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если: а) вес упаковки сахара известен m =375 гр.;
б) вес упаковки сахара неизвестен.
4. При изучении производительности труда X (тыс. руб) на одного работника торговли было обследовано n 68 однотипных магазинов. При этом выборочное среднее признака X составило x 5,28 тыс. руб, а выборочное стандартное отклонение - в 0,63 тыс. руб. Полагая, что изменчивость признака X описывается законом нормального распределения, найти:
а) доверительный интервал для ожидаемого среднего значения m производительности труда с заданной надежностью 0,95;
б) вероятность того, что величина производительности труда X в выбранном наугад магазине окажется в пределах от 5, 0 тыс. руб до 6,0 тыс. руб.
5. При изучении предела прочности ткани X (Н/cм) было испытано 15 образцов, при этом выборочный средний предел прочности составил x 27,3 Н/cм, а исправленное стандартное отклонение s 2,2 Н/cм. Найти доверительный интервал для ожидаемого среднего предела прочности m ткани данного артикула
с заданной надежностью 0,95, предполагая, что изменчивость показателя X описывается законом нормального распределения.
6.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания m генеральной совокупности по выборочной средней будет равна 0,3 нормально распределенной генеральной совокупности.
7.Каков должен быть минимальный объем выборки n для того, чтобы с надежностью 0,99 точность оценки математического ожидания m генеральной
совокупности с помощью выборочного среднего была 0,2, если стандартное отклонение совокупности 1,5 ?
8. При оценке свойств картофеля было обследовано 20 проб и получены следующие значения содержания крахмала X (%):
xi |
13,0 |
13,5 |
14,0 |
14,5 |
15,0 |
15,5 |
16,0 |
Частота ni |
1 |
3 |
5 |
6 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание m нормально распределенной случайной величины X генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.
9. При изучении объема товарооборота X (млн. руб) 10 магазинов города, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, найдено среднее арифметическое x 30,1 и исправленное среднее квадратическое s 6 статистических данных.
Оценить истинное значение изучаемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью 0,99.
10. Произведено 12 измерений одним прибором, не имеющем систематических ошибок, некоторой физической величины. Исправленное среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.
11. Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m =1000 $ и дисперсией
2 40000. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход
x900 $. Следует ли на основании 95% доверительного интервала отклонить
предложение о ежемесячном доходе в стране в 1000 $?
12. Взвешено 25 пакетов с чипсами, заполняемых автоматом, и найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s 1. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95, если считать вес пакета X нормально распределенной случайной величиной.