Документ: Руководство по выполнению контрольной работы по эконометрике (110, страницы 6-10

13. Вес продуктов измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением =20 г. Сколько необходимо сделать независимых взвешиваний продукта, чтобы определить вес с ошибкой не более 15 г при доверительной вероятности 0,9?

14. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены несмещенные оценки математического ожидания x 3000 часов и среднего квадратического отклонения s 20 час их срока службы. Производитель ламп дает гарантию срока службы в 3100 часов. Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной величиной определить:

а) доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95;

б) можно ли по полученным данным доверять рекламе производителя?

15. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматом, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов=10 г. Взвешено 25 пакетов и найден их средний вес x 244 г. В каком интервале с надежностью 95% находится истинное значение среднего веса пакетов?

16. Станок-автомат заполняет пакет чипсами по 250 г. Считается, что станок требует подналадки, если стандартное отклонение от номинального веса превышает 5 г. Контрольное взвешивание 10 пакетов дало следующие результаты:

245; 248; 250; 252; 250; 256; 243; 251; 244; 253.

Можно ли по 95% и 99% доверительным интервалам для стандартного отклонения от номинального веса судить о необходимости подналадки станка?

17. Обследование 25 человек показало, что их средний доход составил 1200 $ при среднем отклонении s 120 $. Полагая, что доход имеет нормальный закон распределения, определить:

а) 95% интервальные оценки для математического ожидания m и среднего квадратического отклонения ;

б) вероятность того, что абсолютное значение ошибки оценивания m не превзойдет 50 $;

с) количество обследованных, чтобы абсолютное значение ошибки оценивания m не превзошло 50 $ с вероятностью 0,9.

18. На основании наблюдений за работой 25 кандидатов на должность секрета- ря-референта установлено, что в среднем они тратили 7 минут на набор 1 страницы текста на компьютере при выборочном стандартном отклонении s 2 мин. При предположении, что время X набора текста имеет нормальный закон распределения:

а) определить 90% и 95% доверительные интервалы для математического ожидания m и среднего квадратического отклонения набора страницы;

б) оценить количество претендентов на работу, которые набрали текст быстрее, чем за 5 минут;

с) не противоречат ли полученные данные предположению о том, что среднее время набора страницы должно составить 5 минут?

19. Пусть X , Y - годовые дивиденды от вложений денежных средств в акции компаний А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями D( X ) 25, D(Y ) 16. Коэффициент корреляции xy =0,8. Что менее рискован-

но, вкладывать деньги в обе компании в соотношении 25% и 75% или только в компанию В?

20. Доход X населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 5000 руб и стандартным отклонением 1000 руб. Обследуется 1000 человек. Каково наиболее вероятное количество человек, имеющих доход более

6000 руб?

1.2 Статистическая проверка гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известного распределения.

Нулевой называют выдвинутую гипотезу H 0 . Конкурирующей называют гипотезу H1 , которая противоречит нулевой.

Для статистической проверки гипотезы H 0 используют специально подобранную

случайную величину K (статистику), называемую статистическим критерием, закон распределения которой либо точно, либо приближенно известен.

Наблюдаемым значением k наб критерия называют его значение, вычисленное по выборочным данным.

Совокупность значений критерия, при которых гипотеза H 0 отклоняется, называется критической областью. Множество значений критерия, при которых гипотеза H 0 принимается, называется областью принятия гипотезы. Точки kкр , разделяющие эти области, назы-

ваются критическими.

В зависимости от сформулированной альтернативной гипотезы H1 различают право-

стороннюю ( K kкр ), левостороннюю ( K kкр ) и двустороннюю ( K k1 , K k2 , k2 k1 )

критические области.

Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется так: если k наб принадлежит критической области, то гипотезу H 0 отклоняют, в противном случае ее при-

нимают.

Для проверки гипотезы задают уровень значимости (обычно используют0,1 0,001), который определяет вероятность того, что будет отвергнута правильная ги-

потеза. Используются следующие основные схемы проверки гипотез при условии, что уровень значимости задан.

1. Гипотеза о математическом ожидании при известной дисперсии.

Генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, ее математическое ожидание m неизвестно, а дисперсия 2 - известна. На основе выборки: x1 , x2 ,..., xn находится выборочное среднее x .

Выдвигается нулевая гипотеза H 0 : m m0 , где m0 - предполагаемое число. Для проверки гипотезы используют статистику

Ux m0 ,

/ n

которая при справедливости H 0

имеет стандартное нормальное распределение.

Если H1 :

m m0 , то критическая область будет двусторонней и критические точки

u / 2

и u1 / 2 u / 2

находятся по таблице значений функции Лапласа из условия

(u

)

1

u

/ 2

. При выполнении неравенства

u

наб

гипотезу H

0

принимают, а в про-

2

/ 2

uнаб

u / 2 , - отвергают в пользу H1 .

тивном случае, когда

Пусть H1 :

m m0 . Тогда критическую точку правосторонней области находят из ра-

венства (u

)

1 2

. Если u

u

, то

H

принимают. В противном случае – отвергают.

наб

0

2

Наконец,

если H1 : m m0 , то критическая точка левосторонней области находится из

равенства u1 u . При uнаб

u1

гипотеза H 0

принимается, а при uнаб u1 - отвергает-

ся.

2. Гипотеза о математическом ожидании при неизвестной дисперсии.

Генеральная совокупность X имеет нормальное распределение ( X ~ N (0, 2 ) ), па-

раметры которого m и 2 неизвестны. На основе выборки: x , x

2

,..., x

n

находится выбороч-

1

ное среднее x и стандартное отклонение s .

Для проверки гипотезы H 0 : m m0 исполь-

зуется статистика

T

x m0

,

s / n

имеющая t распределение Стьюдента с k n 1 степенями свободы.

Пусть H1 :

m m0 . Критические точки

t / 2

и t1 / 2

t / 2 находятся по заданному

уровню значимости и числу степеней свободы

k n 1 из таблицы критических точек

распределения Стьюдента. При

tнаб

t / 2

гипотеза H 0 принимается, а если

tнаб

t / 2 , то

отвергается.

Если H1 :

m m0 , то находят критическую точку t

правосторонней области. При

tнаб t гипотеза H 0

принимается, а в противном случае – отвергается.

Если H1 : m m0 , то при tнаб

t

гипотеза H 0 принимается, а при tнаб t - отвер-

гается.

3. Гипотеза о величине дисперсии.

Пусть

X ~ N (0, 2 ) , где параметры

m и 2

неизвестны. На основе выбор-

ки: x1 , x2 ,..., xn

находится стандартное отклонение s .

Для проверки гипотезы H 0 : 2

02 , где 02 - некоторое число используется крите-

рий

2 (n 1)s 2 ,

02

который при справедливости гипотезы H 0 имеет 2 распределение с k n 1 степенями свободы.

		Если	H		1	: 2	2	, то критическая область является двусторонней и ее границы
					1		0
2	,	2	/ 2	находятся из таблицы критических точек 2 - распределения по заданному и
1 / 2			/ 2

числу степеней свободы k n 1.

Гипотеза H			0	принимается, если 2						2	2	/ 2	. Иначе ее отвергают.
			0						1 / 2	наб		/ 2
В случае H		1		: 2	2		по таблице находят				2 . Если 2			2 , то гипотезу	H	0	при-
		1				0							наб			0
нимают, а при 2				2		- отклоняют.
	наб
Наконец, если H					1	: 2	2 по таблице определяют критическую точку 2								. При
					1				0					1
условии 2	2			гипотеза H				0	принимается, а в противном случае – отвергается.
наб	1							0

4. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух случайных величин при известных дисперсиях.

Пусть X ~ N (mx , x2 ) , Y ~ N(my , y2 ) , причем x2 , y2

- известны. По двум независимым вы-

боркам объема n : x1 , x2 ,..., xn

и объема l : y1 , y2 ,...,

yl

находятся выборочные средние x, y .

Гипотеза H 0 : mx

m y

проверяется с помощью статистики

U

x y

,

2

/ n 2

/ l

x

y

которая при верности H 0 имеет стандартное нормальное распределение.

Если H1 : mx

m y , то критические точки u / 2

и u1 / 2 u / 2 находятся по таблице

значений функции Лапласа из условия (u

)

1

. При выполнении неравенства

/ 2

2

uнаб

u / 2 гипотезу H 0

принимают, а в противном случае, когда

uнаб

u / 2 , - отвергают в

пользу H1 .

Пусть H1 : mx

m y . Тогда критическую точку

u правосторонней области находят из

равенства (u

)

1 2

. Если u

u

, то

H

принимают. В противном случае – отверга-

наб

0

2

ют.

Далее, если H1 : mx m y , то критическая точка u1 левосторонней области находит-

ся из равенства u1

u . При uнаб

u1 гипотеза H 0 принимается, а при uнаб u1 - от-

вергается.

5. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин при неизвестных дисперсиях.

Пусть X ~ N (mx , x2 ) , Y ~ N(my , y2 ) , причем их дисперсии x2 , y2 неизвестны. По

двум независимым выборкам объема n : x1 , x2 ,..., xn			и объема l : y1 , y2 ,..., yl находятся выбо-
рочные средние x, y и исправленные дисперсии sx2 , sy2 .
Для проверки гипотезы H 0 : mx		m y используют критерий

T		x y		nl(n l 2)	,
T					,
	(n 1)sx2 (l 1)s y2			n l

имеющий распределение Стьюдента с k n l 2 степенями свободы при справедливости

H 0 .

При H1 : mx m y по заданному и k n l 2 с помощью критических точек

t распределения находят t / 2				t / 2 , то нет оснований для откло-
	и t1 / 2	t / 2 . Если	tнаб

нения H 0 . Если tнаб t / 2 , то H 0 отклоняется в пользу H1 .

При H1 : mx m y находят критическую точку t . Если tнаб t - H 0 принимается, а при tнаб t - отвергается.

При H1 : mx m y определяют критическую точку t1 t . При tнаб	t гипотезу
H 0 принимается, если tнаб t , то H 0 отвергается.
6. Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормальных случайных величин.
Пусть X ~ N (mx , x2 ) , Y ~ N(my , y2 ) , причем их дисперсии x2 , y2 неизвестны. По

двум независимым выборкам объема n : x1 , x2 ,..., xn и объема l : y1 , y2 ,..., yl находятся ис-

правленные дисперсии s

2

, s2 . Пусть s2

s2 .

x

y

x

y

Для проверки гипотезы H

0

: 2

2 используют статистику (в числителе всегда

x

y

большая исправленная дисперсия)

F

sx2

,

s y2

которая при верности H 0

имеет F распределение Фишера с k1 n 1 и k2

l 1 степеня-

ми свободы.

Если H

1

: 2

2

, то по таблице критических точек распределения Фишера (прило-

x

y

жение 4) по заданному уровню значимости и числам степеней свободы k1 , k2

находится

критическая точка F / 2 . При Fнаб

F / 2 гипотеза H 0 принимается, а при Fнаб

F / 2 - от-

вергается.

При H

1

:

2

по той же таблице определяется критическая точка

F

. Если

x

y

Fнаб F , то нет оснований отклонить H 0 . При Fнаб F гипотеза H 0 отклоняется.

7. Гипотеза о значимости коэффициента корреляции.

Пусть для двумерной генеральной совокупности ( X , Y ), распределенной нормально, извлечена выборка объема n и по ней вычислен выборочный коэффициент корреляции

rxy 0 . Следует проверить гипотезу о статистической значимости коэффициента корреляции

xy .

Гипотеза H 0 : xy 0 (о статистической незначимости xy ) проверяется с помощью критерия


T	rxy		n 2	,
				,
		1 r 2
		1 r 2
			xy

который при верности H 0 имеет распределение Стьюдента с k n 2 степенями свободы.


При H1 : xy 0			по заданному уровню		и числу k n 2 определяют критическую
					t / 2 , то оснований для отклонения H 0 не
точку t / 2 распределения Стьюдента. Если				tнаб
имеется. При	tнаб	t / 2	гипотеза H 0 отвергается.

21. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением 5,2 извлечена выборка объема n 100 и по ней найдено выборочное среднее x 27,56. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H 0 : m 26:

а) при конкурирующей гипотезе H1 : m 26; б) при конкурирующей гипотезе H1 : m 26.

22. Средний вес таблетки лекарства должен быть равен m 0,5мг. Многократные опыты по взвешиванию таблеток показали, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением 0,11 мг. Выборочная

Материал: Руководство по выполнению контрольной работы по эконометрике (110

Смотрите также: