Материал: Руководство по выполнению контрольной работы по эконометрике (110

Для уровня значимости 0,05 установить, оказывают ли объясняющие переменные x1 , x2 существенное влияние на объясняемую переменную y ?

92. Изменение спроса на некоторое благо ( y ) домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага ( x1 ) и дохода домохозяйств ( x2 ). Соответствующая информация представлена в следующей таблице:

Требуется:

1.С помощью МНК оценить параметры линейного двухфакторного уравнения и интерпретировать оценки.

2.Оценить дисперсию ошибки 2 .

93. По 30 территориям России имеются следующие данные:

Требуется:

1.Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном и естественной форме, рассчитать средние коэффициенты эластичности и сравнить их со стандартизованными коэффициентами регрессии.

2.Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции и сравнить их с коэффициентами парной корреляции.

3.Рассчитать общий и частные F критерии Фишера.

94. Уравнение регрессии, построенное по 15 наблюдениям, имеет вид

Найти пропущенные значения и построить доверительный интервал для3 с вероятностью 0,99.

95. Уравнение регрессии в стандартизованной форме имеет вид

t y 0,37t x1 0,52t x2 0,43t x3 .

При этом коэффициенты вариации равны:

Vy 18%, Vx1 25%, Vx2 38%, Vx3 30%.

Определить средние коэффициенты эластичности.

96. По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

Требуется:

1.Построить уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделать выводы.

2.Вычислить коэффициент множественной корреляции и детерминации.

97.Модель зависимости совокупного объема сельскохозяйственной продукции y от обеспечения сельского хозяйства отборным посевным материалом x1 , со-

вокупным объемом продукции растениеводства в предыдущем году x2 и поставками комбикормов x3 имеет вид:

Средние арифметические значения переменных равны: x2 124,4; x3 3854.

Рассчитать значения средних коэффициентов эластичности объясняющих переменных и выявить важнейший фактор, предопределяющий результаты сельскохозяйственного производства.

98. По ряду регионов множественная регрессия величины импорта y на определенный товар относительно отечественного его производства x1 , изменения

100. При построении регрессионной зависимости некоторого результативного признака на 8 факторов по 25 измерениям коэффициент множественной детерминации составил 0,736. После исключения 3 факторов коэффициент детерминации уменьшился до 0,584. Обосновано ли было принятое решение на уровнях значимости 0,1; 0,05; 0,01?

101. При построении регрессионной зависимости некоторого результативного признака на 10 факторов по 45 наблюдениям коэффициент множественной детерминации составил 0,347. После добавления 3 факторов коэффициент детерминации увеличился до 0,536. Обосновано ли было принятое решение на уров-

нях значимости 0,1; 0,05; 0,01?

102. По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых y (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

x1 количество осадков в период вегетации (мм); x2 средняя температура воздуха (°С).

Матрица парных коэффициентов корреляции этих показателей имеет следующий вид:

Требуется:

1.Определить частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов и сделать выводы.

2.Какое уравнение лучше строить:

-множественную линейную регрессию?

3.Построить уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделать вы-

вод.

3.2 Обобщенная модель множественной регрессии

Обобщенная модель множественной регрессии отличается от классической видом ковариационной матрицы :

,

где положительно определенная матрица.

Наилучшей линейной несмещенной оценкой вектора в этом случае является оценка

обобщенного метода наименьших квадратов

b X 1 X 1 X 1 X .

говорят о гетероскедастичности модели. При наличии гетероскедастичности МНК – оценки уже не являются эффективными.

Для определения наличия гетероскедастичности разработаны различные тесты, и с- пользующие нулевую гипотезу H 0 об ее отсутствии.

В тесте ранговой корреляции Спирмена используется общее предположение о зависи-

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k n 2 . Если наблюдаемое значение t статистики превышает tкр , определяемое из таблиц, то признается наличие

гетероскедастичности на уровне значимости . Во множественной регрессии проверка на гетероскедастичность может осуществляться по каждому фактору отдельно.

Тест Голдфелда-Квандта применяется в тех случаях, когда ошибки регрессии считаются нормально распределенными случайными величинами и их стандартные отклон е- ния i пропорциональны значениям объясняющей переменной xi :

i2 2 xi2 .

Тест выполняется в следующем порядке.

1.Все n наблюдений упорядочиваются по возрастанию величины фактора x .

2.Упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки объемов m , n 2m и m соответственно.

3.Проверяется гипотеза H 0 о равенстве дисперсий первой и третьей подвыборки по m наблюдениям с помощью F статистики

n

ei2

i n m 1

Если Fнаб Fкр , где Fкр находится из таблиц по заданному уровню значимости и

числу степеней свобода k1 k2 m p 1 , то гипотеза об отсутствии гетероскедастично-

сти отклоняется.

При наличии гетероскедастичности для оценки параметров модели используется

взвешенный метод наименьших квадратов.

Если дисперсии i2 известны, то в рассмотрение вводятся новые переменные

yi yi / i , x ji x ji / i , zi 1/ i , i i / i

и получается новое уравнение регрессии без свободного члена с ( p 1) факторами yi 0 zi 1 x1i p xpi i ,

для которого выполняются все предпосылки МНК ( D( i ) 1 ).

Если i2 неизвестны, то можно сделать различные предположения об их связи с регрессорами. В частности, нередко для парной регрессии используют зависимость

i2 2 xi .

Вэтом случае вводятся новые переменные

В другом важном случае отличия модели регрессии от классической заключается в наличие зависимости случайных отклонений i в различных наблюдениях, т.е.

cov( i j ) 0 для i j . Такие модели называют моделями с автокорреляцией. В экономических задачах чаще встречается положительная автокорреляция ( cov( i j ) 0 ) и реже – отрицательная ( cov( i j ) 0 ).

Применение МНК к модели с автокорреляцией приводит к получению оценок параметров, не являющихся эффективными, t статистики завышены, выводы по t и

F статистикам являются неверными.

Для обнаружения автокорреляции используются статистические тесты, наиболее простым из которых является тест Дарбина-Уотсона для обнаружения автокорреляции между соседними возмущениями.

Вначале по построенному уравнению регрессии (без учета автокорреляции) опреде-

d 2(1 r) .

По таблице критических точек Дарбина-Уотсона для заданного уровня значимости и числу регрессоров p определяется два пороговых значения d н и d в . Если фактическое значение d удовлетворяет условиям:

а) dв d 4 dв , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

б) 0 d d н , то принимается решение о наличии положительной автокорреляции; в) 4 dн d 4 , то принимается решение о наличии отрицательной автокорреляции.