Материал: Справочник магнитного диска. Катрахова А.А., Купцов В.С

1. если >0, то кривая эллиптического типа;

2. если <0 , то кривая гиперболического типа;

3. если =0, то кривая параболического типа.

Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

Пример. Дано: K(x,y)= 2x²+2y²-2xy-2x-2y+1=0.

Решение. Имеем a₁₁=2, a₂₂=2, a₁₂=a₂₁=-1; a₁=-1,

a₂=-1, a₀=1 . Тогда матрица старших членов .

Составляем характеристическое уравнение

, или

Корни и – собственные значения матрицы S. Так как , и то данная кривая эллиптического типа. Находим соответствующие им собственные векторы и . Для : , или , , . Пусть c₁=1. Тогда . Нормируем , где ; получаем . Для : или , , . Пусть с₂ =1. Тогда . Нормируем , , где ; получаем , причем . Орты собственных векторов и образуют базис в новой системе координат x^/,y^/. Имеем матрицу Т линейного преобразования координат

Отсюда получаем формулы преобразования координат , или , .

Подставляем в уравнения кривой найденные выражения для x и y: После раскрытия скобок и приведения подобных получаем (x^/)²+3(y^/)²-2 x^/+1=0, или (x^/)²-2 x^/+3(y^/)²+1=0.

Выделив, полный квадрат имеем: (x^/- )²+3y^/+1=0.

Пусть x^//=x^/- , y^//=y^/- параллельный перенос координатных осей. Тогда (x^//)²+3( y^//)²=1, или (x^//)²+( y^//)²/3=1-каноническое уравнение эллипса в координатах x^//, y^// , где

a =1, b= =0,577 – полуоси эллипса (рис.5) .

Рис. 5

12. Числовая последовательность и ее предел

В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Часто, однако, приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить тождественные преобразования данного выражения, как говорят, раскрывать неопределенность. Неопределенности бывают нескольких видов: , ,{ },{ },{ },{ },{ },{ }.

В последующих заданиях рассмотрим основные приемы, которыми обычно пользуются при таких преобразованиях для вычисления заданного предела.

Функция f(x) называется функцией натурального аргумента, если множество значений x , для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел: 1,2,3,..n.

Например, f(n)=1+2+…+n=(n+1)n/2 - сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел a₁,a₂,…a_n, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, по которому общий член a_n последовательности задается как функция натурального аргумента, т.е.

f(n)= a_n ( индекс n обозначает номер переменной величины a_n , т.е. n –го члена последовательности).

Число А называется пределом последовательности a_n , если для любого сколь угодно малого числа можно указать такой номер N , зависящий от , что для всех номеров n>N выполняется неравенство:

Пишут: ,или при , если

для , что при : .

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность {a_n}, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае {a_n} будет расходящейся. В следующих пяти заданиях типового расчета по теме «Пределы» требуется вычислить пределы числовых последовательностей.

Рассмотрим решение типовых задач с пояснениями на отыскание предела числовой последовательности.

Решение задач на вычисление пределов.

Пример. Вычислить

Решение. Выносим за скобки n в набольшей степени, т.е.

Ответ: 0

13. Предел функции

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ( или в точке a ), если для любого наперед заданного положительного числа (хотя бы как угодно малого ) существует положительное число , вообще говоря, зависящее от , т.е. , такое, что при всех значениях и удовлетворяющих условию

, имеет место неравенство .

Пишут , если для ,

такое, что при .

Аналогично число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа существует число M>0, зависящее от , такое, что при выполняется неравенство . Пишут .

Правила предельного перехода. Основные теоремы.

Если функции f(x) и имеют конечные пределы при , то

а)

б)

в) ,при .

Число е и его применение.

Числом е называют предел

или , где =2,718. Число e бывает полезным при раскрытии неопределенности вида . Приведенную выше форму называют вторым замечательным пределом. Заметим, что при существовании имеет место формула .

Пример. Вычислить

Решение. Здесь основание степени при , а показатель степени . Таким образом, имеет место неопределенность вида { }.

Способ 1. Разделив числитель и знаменатель на n³, получим

=

ибо , . Ответ: e^-2.