Материал: Теоретическая механика
81
Рис. 2.4
82
Рис. 2.5
83 |
|
|
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ |
|
|
Дано: схема конструкции (рис. 2.6а); |
P = 8 кН; |
M = 20 кНм; |
q = 2 кН/м ; a = 1 м; α = 60о; β = 30о. Определить реакции опор A и B и давление в промежуточном шарнире C.
РЕШЕНИЕ
Данная конструкция состоит из двух тел, сочлененных шарниром C. Задачу можно решить двумя способами.
Первый способ. Мысленно освобождаемся от связей, наложенных на каждое из тел, заменяя их на соответствующие реакции. Рассматриваем системы уравновешивающихся сил, приложенных к каждому телу в отдельности.
На первое тело (рис. 2.6б) действуют: сила P , пара сил с моментом M, реакция опоры A и давление балки CD в точке C. Реакция жесткой за-
делки A представляется силами X A , YA и парой сил с моментом MА, а давление балки CD - составляющими XC и YC . Указанные силы расположены
на плоскости произвольным образом, поэтому составляем три уравнения равновесия:
åFKx = 0 |
; |
X A + XC - P ×cosα = 0 |
; |
(1) |
||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åFKy = 0 |
; |
YA + YC - P ×sinα = 0 |
; |
(2) |
||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åm0 (FK ) = 0 ; |
X A ×OA + M A + YC ×OC - M + P ×OK = 0 ; |
(3) |
||||||||
K |
OA = 2 × a = 2м , |
OC = 1,5 |
× a =1,5м , |
|
||||||
где |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= 0,87 |
|
|
|
||
|
OK = a ×sinα =1× |
3 |
м . |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На второе тело (рис. 2.6в) действуют: распределенные силы интенсивности q , реакция опоры B и давление первого тела в точке C. Равно-
мерно распределенные силы заменяем их равнодействующей Q , прило-
женной в середине участка CD и направленной по вертикали вниз. Ее модуль определяется по формуле:
Q = q ∙ CD = 2 ∙ 3,5 = 7 кН.
Реакция NB опоры B перпендикулярна к балке CD, а давление первого тела представляется составляющими XC′ и YC′ . Согласно аксиоме о равенстве действия и противодействия
84
|
|
Рис. 2.6 |
′ |
и |
′ |
XC = X C |
XC −↓ XC , |
|
YC′ = YC |
и |
YC′ −↓ YC . |
85
Уравнения равновесия сил, приложенных к балке CD имеют вид:
åFKx = 0 |
; |
|
′ |
|
|
β = 0 |
; |
|
|
|
|
(4) |
||||||
- XC - NB ×sin |
|
|
|
|
||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åFKy = 0 |
; |
- YC′ + NB × cos β - Q = 0 |
; |
(5) |
||||||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åmC (FK ) = 0 ; |
NB ×CB - Q ×CF = 0 |
; |
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CF = CD ×cos β = |
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где CB = a =1 м, |
× |
|
3 |
=1,52 |
м. |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Уравнения равновесия (1)-(6) образуют полную систему уравнений, |
||||||||||||||||||
откуда определяются все шесть неизвестных величин: XА, YА, MА, XС, YС, |
||||||||||||||||||
NB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (6) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
NB = Q × CF |
= 7 × |
1,52 |
=10,64 |
|
кН. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
CB |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YC¢ = NB ×cos β - Q =10,64× |
|
|
3 |
|
- 7 = 2,21 кН. |
|
||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||
Из уравнения (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¢ |
|
|
|
|
= -5,32 |
|
кН. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
XC = -NB sin β = -10,64× |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрицательный знак указывает, что в действительности сила XC′ (соответственно и XC ) будет направлена в сторону противоположную принятой. Истинные направления сил XC и YC , представляющих собой состав-
ляющие давления RC балки CD на первое тело конструкции, показаны на
рис. 2.6г.
Модуль RC и угол определяются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= X |
2 + Y 2 = |
(5,32)2 + (2,21)2 |
= 5,76 кН, |
||||||||||||||||||
|
C |
|
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
γ = arctg |
|
|
|
YC |
|
|
|
= arctg0,4154 = 22 |
o |
|
¢ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
34 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
XC |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Далее из уравнения (1) находим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
X A = P ×cosα - XC = 8× 1 + 5,32 = 9,32 |
кН. |
|||||||||||||||||||||
Из уравнения (2) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= 8× |
|
|
|
- 2,21 = 4,72 |
|
||||||||||||||
Y |
A |
= P ×sinα -Y |
3 |
кН. |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||