Материал: Теоретическая механика
91
Рис. 3.4
92
Рис. 3.5
93
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
Дано: F1 = 15 Н; F2 = 60 Н ; |
F3 = 30 Н; |
F4 = 20 Н; |
F5 = 25 |
Н; M = 10 Нм; a = 0,5 м; b = 0,4 м; |
c = 0,3 м; |
α = 600; |
β = 300 |
(рис. 3.6а).
РЕШЕНИЕ
Прежде, чем приступить к определению главного вектора R заданной системы сил и ее главного момента M0 относительно начала координат, введем углы γ, φ и разложим силу F4 на две составляющие: F4¢ – на плоскости XOY и F4(3) - перпендикулярно к ней (рис. 3.6а).
F4′ = F4 ×sin β =10 Н, |
F4(3) = F4 ×cos β =17,32 Н. |
Проекцию силы F4 на ось найдем, как сумму проекций составляющих F4¢ и F4(3) , а ее момент относительно оси, согласно теореме Вариньо-
на, будет равен сумме моментов F4¢и F4(3) относительно этой же оси.
Для проекций главного вектора на координатные оси получим выражения:
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rx = åFkx |
= -F1 + F2 ×cosϕ + F4¢ ×sinγ |
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ry = åFky |
= F3 ×cosα - F4¢ ×cosγ - F5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rz = åFkz |
= -F2 ×sinϕ + F3 ×sinα + F4(3) |
, |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinγ = OA |
= |
|
|
|
|
a |
= 0,78 |
, |
cosγ = OD |
= |
|
|
|
b |
= 0,62 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
AD |
|
|
|
a2 + b2 |
|
|
|
|
AD |
|
|
|
a2 + b2 |
|
|||
sinϕ = ON |
= |
|
|
|
|
c |
= 0,51 |
, |
cosϕ = |
OA |
= |
|
|
|
a |
= 0,86 . |
|
|
|
|
|
|
AN |
|
|
|
|
||||||||
AN |
|
|
|
|
a |
2 + c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + c2 |
|
|
Подставив в (1) – (3) выражения для F4¢и F4(3) , заданные значения F1,
F2, …, F5, α, β, а также найденные значения тригонометрических функций углов φ и γ, получим
|
94 |
|
Rx = 44,27 Н, |
Ry = −16,25 Н, |
Rz =12,31 Н. |
Модуль главного вектора |
|
|
а)
б) |
в) |
Рис. 3.6
95
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = (R )2 |
+ (R |
y |
)2 |
+ (R )2 = (44,27)2 + (-16,25)2 + (12,31)2 = 48,74 Н. |
|||||||||||||
|
x |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Направляющие косинусы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
r r |
Rx |
|
|
|
44,27 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
cos(R,i )= |
|
|
= |
= 0,91 , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
48,74 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Ry |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos (R, j )= |
|
= |
-16,25 = -0,33 , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
r r |
|
|
48,74 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Rz |
|
|
|
12,305 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
cos(R,k )= |
|
|
= |
|
= 0,25 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R |
48,74 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проекции главного момента системы сил относительно начала координат на координатные оси равны суммам моментов всех сил относительно соответствующих координатных осей. Поэтому, будем иметь:
|
5 |
r |
= F3 × h3 |
+ F4(3) ×b + F5 ×c , |
|
|
Mox = M x = åmx (Fk ) |
|
(4) |
||||
|
k =1 |
r |
|
|
|
|
|
5 |
= F2 ×h2 - F3 ×sinα × a , |
|
|
||
Moy = M y = åmy (Fk ) |
|
(5) |
||||
|
k =1 |
r |
|
|
|
|
|
5 |
= F1 ×b + F3 ×cosα ×a - F4¢ × h4 - F5 ×a + M |
|
|
||
Moz = M z = åmz (Fk ) |
, |
(6) |
||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
Из рис. 3.6 |
|
|
|
|
|
|
h2 |
= a ×sinϕ = 0,5×0,51= 0,26 |
м, |
|
|
||
h3 |
= AE × sinα = (AB - BE) × sinα = |
|
|
|||
|
= (a - c ×ctgα)×sinα = (0,5 - 0,3×ctg600 ) ×sin 600 = 0,28 |
м, |
|
|||
h4 |
= b ×sinγ = 0,4×0,78 = 0,31 |
м. |
|
|
||
Подставив в (4) – (6) числовые значения всех необходимых величин, получим:
Mox = 22,92 Нм, |
Moy = 2,45 Нм, |
Moz = 7,87 Нм |
Модуль главного момента
Mo = 
(Mox )2 + (Moy )2 + (Moz )2 = 
22,922 + 2,452 + 7,872 = 24,36 Н×м.