Материал: УМК Коровкин-Кулик

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

изменяется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соот-

ветствует свое значение rM . Следовательно, rM является функцией времени t:


rM = rM (t).	(2.1)

Уравнение (2.1) называется кине-

матическим уравнением движения точки в векторной форме. Оно позво-

ляет найти положение точки в про- странстве в любой момент времени t. Поэтому (2.1) является законом движе- ния точки, а также описывает в вектор- ной форме траекторию точки.

Векторный способ определения движения точки применяется в радио- локации и телеметрии.

Координатный способ. Этот

Рис. 2.1. К векторному способу задания движения точки

способ определения движения точки состоит в том, что задаются коорди- наты точки как функции времени. Так, в прямоугольной пространственной системе координат Oxyz

хм = f1(t); ум = f2(t); ZM = f3(t).

(2.2)

Между векторным и координатным способами задания движения точки существует следующая связь (рис. 2.2):


rM = ixM	+ jyM	+ kzM ,	(2.3)

где i, j, k – орты (или единичные век- торы), соответственно направлен-

ные по осям координат Ox, Oy, Oz. Уравнения (2.2) являются

уравнениями траектории в парамет- рической форме. Исключая параметр t из уравнений (2.2), получаем урав- нение траектории в явной форме.

Координатный способ опре- деления движения точки широко используется в морской навигации, где появление корабля определяет- ся его географическими координа- тами (широта, долгота).

Рис. 2.2. К координатному способу задания движения точки

Естественный способ. Если траектория точки известна заранее, то для определения закона движения точки в пространстве достаточно задать положение точки на ее траектории. С этой целью одну из точек, например, О, на траектории принимают за начало отсчета дуговых координат, а по- ложение движущейся точки М определяют ее расстоянием от точки О. При этом расстояние OM = SM отсчитывается по дуге траектории (рис. 2.3).

При движении точки это расстояние изменяется так, что

	= f (t) .
OM = SМ	= f (t) .	(2.4)

Уравнение (2.4) называется законом движения точки по траектории.

Таким образом, при естественном способе задания движения точки необходимо, чтобы были указаны: траектория точки, начало отсчета дуго- вых координат (точка О) и закон движения точки М по траектории.

Кроме этого, должно быть указано, в каком направлении от точки О следует откладывать положитель- ные и отрицательные значения ду- говых координат. Иными словами, должны быть указаны положитель-

	Рис. 2.3. К естественному способу	ное и отрицательное направления
	задания движения точки
		движения точки.

	Естественный способ задания движения точки является единственно
	приемлемым для железнодорожного транспорта.

2.1.2. Скорость точки

Скоростью точки называют одну из кинематических мер ее движе-

ния. Эта величина показывает, как быстро и в каком направлении происхо- дит движение точки. Выясним, каким математическим выражением можно описать это понятие. Для этого рассмотрим векторный способ задания движения точки.

Радиус-вектор r = r(t) определяет положение точки в пространстве в данный момент времени t, а радиус-вектор r = r (t + t ) – в момент време-

ни (t + ∆t) (рис. 2.4). Изменение радиус-вектора за промежуток времени ∆t

	=		(t + t ) −		(t )	(2.5)
r		r		r

называется перемещением точки за этот промежуток времени. Оно по-

казывает, на какое расстояние и в каком направлении произошло измене- ние положения точки в пространстве, то есть характеризует движение точ-

ZM = f3(t),

ки за этот промежуток времени только с геометрической точки зрения, сравнивая положения точки в различные моменты времени.

Отношение перемещения точки ∆r к промежутку времени ∆t характе- ризует среднюю быстроту, с которой произошло движение точки внутри это- го промежутка времени, а также – в каком направлении оно произошло. Это отношение считают средней скоростью точки за этот промежуток времени ∆t


	=	r .	(2.6)
V	=	r .	(2.6)
ср		t
		t

Средняя скорость Vср направлена по секущей MM1,			проведенной к

траектории точки.

Перейдя к пределу этого отношения при ∆t → 0, получим вектор, ха- рактеризующий и быстроту, и направление движения точки в момент вре- мени t:

V = lim				(2.7)
V = lim	r	= dr .		(2.7)

	t		dt
Очевидно, что он направлен по касательной, проведенной к траекто-
рии точки из положения M.
				(2.8)
V = dr				(2.8)

Именно эту производную по времени от радиус-вектора движущейся точки и имеют в виду, когда говорят о скорости точки (о векторе скорости точки).

Полученная формула одновременно является математическим выра- жением для вычисления скорости точки при векторном способе задания движения этой точки.

Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат.

Если движение точки задано координатным способом

хм = f1(t); ум = f1(t);

то скорость точки определяется по ее проекциям на оси координат. Дейст-

вительно, разложим вектор скорости VM и радиус-вектор xM по ортам ко-

ординатных осей (рис. 2.2). Получим


		=				(2.9)
	VM		iVX + jVY + kVZ ;

					+ kzM ,
rM = ixM				+ jyM		(2.10)

где xM, yM, ZM – координаты движущейся точки; Vx, Vy, Vz – проекции скоро- сти на оси координат.


	=	drM
По определению скорости имеем: V		drM	.
По определению скорости имеем: V			.
M		dt
		dt

Подставляя в эту формулу значения VM , rm , получим

iV	+ jV		+ kV		= i	dxM	+ j dyM		+ k dzM

x		y		z
x		y		z		dt		dt		dt ,
						dt		dt		dt ,

откуда

V =	dxM	; V	y	=	dyM	; V =	dzM	.

x	dt				dt	z	dt

(2.11)

(2.12)

Следовательно, проекции скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки. Модуль скорости определяется по формуле

V	= V	2	+ V	2	+ V	2	(2.13)
M		x		y		z

Направление скорости определяется по направляющим косинусам

сos (VM ^ x) = Vx		;	cos (VM y ) = Vy		;	cos (VM z ) = Vz .		(2.14)

V			V			V
	M			M			M

Скорость точки в естественных координатах. Движение точки будет задано в естественной форме, если известна ее траектория и закон (или уравнение) движения по траектории SM = f (t), где SM – дуговая коор- дината точки (рис. 2.5), заданная как функция времени. Точка О – начало дуговых координат.

Рис. 2.5. К понятию алгебраической скорости точки

Направим ось Мτ (касательную к траектории в положении М) в сто- рону увеличения дуговых координат. Единичный вектор (орт) этой оси обо-


значим τ0 . Так как вектор скорости точки направлен тоже по касательной к
траектории в данном месте М, то
			= Vττ0 .		(2.15)
VM	= (ПрτVM ) τ0		= Vττ0 .		(2.15)

Проведем из неподвижной точки О1 радиус-вектор точки М –					rM ,
r	= r ( s	) = r s	M	(t ) .	(2.16)
M	M		M

Величина Vτ = ПрτVM может быть положительной (если движение происходит в сторону увеличения дуговых координат в положительном на- правлении по траектории), отрицательной или равной нулю. Ее называют

алгебраической скоростью точки (в отличие от вектора VM и его модуля

VM = VM ).

Выясним, как можно вычислить алгебраическую скорость точки. Применяя формулу (2.8), получим

(2.17)

V = drM

= dr dS ,

dS dt

где

= 1 – единичный орт касательной.

dSM

τ0 .

(2.18)

Сравнивая это выражение с уравнением (2.15), делаем вывод, что ал- гебраическая скорость точки (проекция вектора скорости на направление касательной к траектории) равна первой производной по времени от дуго- вой координаты точки:

V =

dSM

(2.19)

алг dt

Скорость точки при естественном способе задания движения на- ходится дифференцированием по времени закона движения точки по траектории.

2.1.3. Ускорение точки

Кинематическая мера, характеризующая быстроту изменения во времени скорости точки, называется ускорением.

Рассмотрим два сколь угодно близких положения точек М и M1 на тра-

ектории. Скорость точки М обозначим VM , а точки М1 – V1 (рис. 2.6). Геомет-

Источник: https://studfile.net/preview/16531417/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ