Материал: УМК Коровкин-Кулик
Таким образом, величина элементарной работы может быть найдена по одной из следующих формул:
dA = FV |
|
ds |
|
= FVdσ = FτVdt = Fτds = Xdx + Уdy + Zdz . |
(3.27) |
|
|
Элементарная работа характеризует воздействие, оказываемое си- лой на материальное тело, при бесконечно малом перемещении последнего.
Из формулы (3.27) следует, что элементарная работа может быть по- ложительной, отрицательной и равной нулю. Необходимо подчеркнуть, что dA не обязательно является полным дифференциалом какой-нибудь
функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
совершено под действием сис- |
|||||
Если элементарное перемещение dr |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
темы сил F1, F2 , F3,..., Fn , то |
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
dA = ∑Fidr |
= dr ∑Fi |
= Rdr , |
||
|
|
|
i =1 |
i=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
где R = ∑Fi |
– |
равнодействующая системы сил. |
|||||
i =1
Таким образом, элементарная работа равнодействующей равна ал- гебраической сумме элементарных работ составляющих сил на том же пе- ремещении.
Если элементарное перемещение dr разложить на несколько состав- ляющих перемещений dr1, dr2 , dr3,..., drn так, чтобы
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
dr |
= ∑dri |
, |
то |
dA = Fdr |
= ∑Fdri . |
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
Это означает, что элементарная работа силы на некотором переме- щении равна алгебраической сумме элементарных работ этой силы на со- ставляющих перемещениях.
3.4.4. Работа силы на конечном пути
Работой силы на конечном пути S точки приложения силы (или про- сто работой) называется предел суммы элементарных работ данной силы на бесконечно малых перемещениях, из абсолютных величин которых сла- гается данный путь. Работа выражается криволинейным интегралом
A = ∫ Fdr . |
(3.28) |
(s) |
|
91
Учитывая формулу (3.27), можно записать следующие формулы для определения работы:
A = ∫ |
FτVdt = ∫ |
Fτds = ∫ ( Xdx + Уdy + Zdz) . |
(3.29) |
(s) |
(s) |
(s) |
|
Размерность работы
[A] = [F]·[s] = Н·м = Дж.
Ранее отмечалось, что выражение элементарной работы, стоящее под знаком интеграла в уравнении (3.29), не всегда является полным диффе- ренциалом. Поэтому аналитическое определение работы на конечном пе- ремещении не всегда возможно. Рассмотрим ряд частных случаев, когда эту работу удается вычислить.
1. F = const . В этом случае |
|
|
|
A = F ∫ cos(F , τ)ds = Fl cos α , |
(3.30) |
(σ)
где l = M0M; α – угол между вектором силы и хордой М0М, равной резуль- тирующему перемещению точки.
Согласно выражению (3.30), работа силы, постоянной по величине и направлению, не зависит от формы траектории и величины пути, пройден- ного точкой приложения силы, а зависит лишь от начального и конечного положений этой точки.
|
|
2. F cos(F , τ) = Fτ = const . В этом случае |
|
A = Fτ ∫ ds = Fτ (s − s0 ) . |
(3.31) |
(σ) |
|
3. F = const и cos( F , τ) = const . Данный случай соответствует пря-
молинейному движению точки приложения силы. При этом выражение (3.31) принимает вид
A = X (x – x0). |
(3.32) |
||
Работа силы на конечном круговом перемещении |
|
||
ϕ |
|
||
|
|
)dϕ , |
|
A = ∫ M z (F |
(3.33) |
||
ϕ0 |
|
||
где ϕ0 и ϕ – значения угла, определяющего начальное и конечное поло-
жение точки приложения силы.
Если M z (F ) = const , то
|
|
A = M z (F )(ϕ − ϕ0 ) . |
(3.34) |
92
3.4.5. Мощность силы
Мощностью силы (или просто мощностью) называется скалярная величина, характеризующая быстроту приращения работы силы. Мощ-
ность обозначается буквой N и выражается отношением элементарной ра- боты силы ко времени, в течение которого она совершена:
|
|
|
|
N = |
dA |
. |
|
(3.35) |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||
На основании формулы (3.27) |
|
|
|
|
|
|
||||||
N = FV |
|
V |
|
= FτV = XVx + УVy + ZVz . |
(3.36) |
|||||||
|
|
|||||||||||
Если сила приложена к телу, вращающемуся вокруг неподвижной |
||||||||||||
оси, то |
|
|
|
dϕ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N = M |
|
(F ) |
= M (F )ω , |
(3.37) |
||||||||
z |
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где ω – угловая скорость тела. Размерность мощности
[ A]
[N] = [ ] = Н·м/с = Дж/с = Вт. t
3.4.6. Теорема об изменении кинетической энергии материаль- ной точки
Кинетической энергией материальной точки называется положи- тельная скалярная величина
T = mV 2 , 2
где m – масса точки; V – скорость точки относительно выбранной системы отсчета.
Кинетическая энергия представляет собой меру механического дви-
жения, характеризующую способность перехода последнего в другие формы движения материи.
Размерность кинетической энергии
[Т] = [m] [V]2 = Нм = Дж.
Согласно второму закону динамики ma = F .
Проектируя это векторное уравнение на касательную к траектории, получаем
maτ = Fτ .
93
Поскольку aτ = Vɺ, то |
|
|
|
|
|
|
mVɺ = Fτ . |
|
(3.38) |
Умножая обе части выражения (3.38) на Vdt , получаем |
|
|||
|
mVdV = FτVdt , |
|
|
|
так как |
|
|
|
|
mVdV = d |
mV 2 |
= dT , а F Vdt = dA , то |
|
|
|
|
|||
2 |
|
τ |
|
|
|
|
|||
|
|
dT = dA. |
|
(3.39) |
Уравнение (3.39) выражает теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме: изменение ки-
нетической энергии материальной точки при бесконечно малом пере- мещении последней равно элементарной работе силы, приложенной к этой точке.
Интегрируя уравнение (3.39), получаем
V
∫ dT = ∫ dA ,
V0 (s)
что соответствует Т – Т0 = А, или
mV |
2 |
− |
mV |
2 |
= A . |
|
|
|
0 |
(3.40) |
|||
2 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
Уравнение (3.40) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме: изменение кинетической энергии мате- риальной точки на конечном пути равно работе на данном пути силы, приложенной к этой точке.
Если на материальную точку действуют несколько сил, в правую часть уравнения (3.40) следует подставлять алгебраическую сумму работ всех сил.
3.5.Движение несвободной материальной точки
3.5.1.Классификация связей
Материальная точка называется несвободной, если ее движение ог- раничено какими-нибудь заранее заданными условиями. Как было сказано ранее, препятствия, ограничивающие движение точки, называются связя- ми. Сила, с которой связь действует на данную материальную точку, назы- вается реакцией связи. Все остальные силы, приложенные к несвободной материальной точке, называются активными силами.
94
Активная сила может не зависеть от других сил, приложенных к точ- ке. Реакция связи зависит от активных сил. Если активных сил нет, реак- ция связи обращается в нуль. Реакция связи всегда направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться несвободной ма- териальной точке.
Математическое выражение ограничения, налагаемое связью на движение материальной точки, называется уравнением связи.
Если, например, точка при движении не может сойти с некоторой линии, то уравнением связи является уравнение упомянутой линии.
Связь называется удерживающей (двухсторонней) в том случае, если точка не может совершать перемещения, при которых связь нарушается.
Связь называется неудерживающей (односторонней) в том случае, если она допускает перемещения, при которых связь нарушается.
Связь называется стационарной, если в ее уравнение явным образом не входит время. В противном случае связь называется нестационарной.
Идеальной связью называется связь, наложение которой не влечет за собой возникновения сил трения. Реакция идеальной связи перпендику- лярна к траектории несвободной материальной точки.
Связи могут ограничивать не только положение, но и скорость несво- бодной материальной точки. В дальнейшем речь будет идти лишь о связях, ограничивающих положение (так называемых геометрических связях).
3.5.2. Дифференциальные уравнения движения несвободной ма- териальной точки
Равнодействующую всех сил, приложенных к несвободной матери- альной точке, при идеальной связи можно представить в виде суммы двух
сил: результирующей активной силы F и нормальной реакции связи N :
|
|
R = F |
+ N . |
На основании второго закона динамики получим:
|
|
|
(3.41) |
ma |
= F |
+ N . |
Проектируя обе части этого векторного уравнения на оси х, у, z, по- лучаем систему скалярных уравнений
max = Fx + Nx ; may = Fy + N y ; maz = Fz + Nz ,
95