Материал: УМК Коровкин-Кулик

3.7.Введение в динамику механической системы

3.7.1.Основные понятия и определения

Механической системой материальных точек или механической системой называется совокупность материальных точек, движение ка- ждой из которых зависит от движения остальных. Примеры механиче-

ских систем: твердое или упругое тело; гибкая нить; механизм или маши- на, представляющие собой сочетание твердых, упругих, гибких или жид- ких тел; солнечная система.

По характеру абсолютного движения отдельных точек механические системы разделяются на два вида:

1)системы, состоящие из свободных материальных точек, каждая которых может перемещаться в произвольном направлении в пространстве (например, солнечная система);

2)системы, состоящие из несвободных материальных точек, движе- ние которых ограничено связями.

По характеру относительного движения точек механические системы разделяются на три вида:

1)системы, относительное движение точек которых может изме- няться (например, упругие или жидкие тела, гибкие нити);

2)системы, относительное движение точек которых может происхо- дить лишь по заранее установленным законам (например, механизмы и машины);

3)неизменяемые системы, расстояния между всеми точками которых при движении системы не изменяются (например, абсолютно твердые тела).

Определить движение системы – значит указать положение каждой из точек системы в любой наперед заданный момент времени.

Для определения положения в пространстве n свободных точек тре- буется 3n координат. Если движение системы ограничено S связями, то произвольное значение могут принимать только (3n – S ) координат. Такое количество произвольно выбранных координат можно считать независи- мыми переменными. Остальные координаты будут функциями выбранных.

При определении положения системы часто пользуются так назы- ваемыми обобщенными координатами. Обобщенными координатами сис- темы называются независимые параметры, достаточные для определения положения данной системы. Через обобщенные координаты выражаются координаты всех точек системы.

101

Число обобщенных координат соответствует числу степеней свобо- ды системы.

Согласно сказанному выше, при наложении на систему из n свобод- ных точек S связей образуется система с (3n – S ) степенями свободы.

3.7.2. Классификация сил, действующих на систему

Силы, действующие на материальные точки, образующие механиче- скую систему, классифицируют двумя способами:

1.Силы взаимодействия точек, принадлежащих к данной системе, на- зываются внутренними силами, а силы взаимодействия точек системы с ма- териальными телами, не входящими в системы, называются внешними силами.

2.Все силы, приложенные к точкам системы, разделяются на актив- ные силы и реакции связей.

Внутренние силы в дальнейшем будем обозначать индексом i, внеш- ние – индексом е.

Отметим важное свойство внутренних сил: для каждой данной внут-

ренней силы F i имеется другая внутренняя сила, равная и противоположная первой (−F i ). Это свойство вытекает из третьего закона динамики. Из отме-

ченного свойства следует, что главный вектор, а также главный момент внут- ренних сил относительно любого центра или оси равны нулю:

Следует подчеркнуть, что попарно равные внутренние силы не урав- новешивают друг друга, так как они приложены к различным материаль- ным точкам (или телам).

Нужно иметь в виду, что силы, внутренние по отношению ко всей механической системе, могут быть внешними по отношению к части по- следней.

3.7.3. Возможные перемещения

Возможным перемещением несвободной материальной точки назы- вается любое бесконечно малое перемещение, допускаемое связью.

102

Возможным перемещением механической системы называется со- вокупность возможных перемещений всех точек системы, получаемая в результате бесконечно малого изменения какой-нибудь одной обобщенной координаты.

Если система имеет m степеней свободы, которым соответствуют обобщенные координаты q1, q2 ,..., qm , то декартовы координаты любой из n

точек системы являются функциями m переменных:

xk = xk (q1, q2 ,..., qm );

yk = yk (q1, q2 ,..., qm );

zk = zk (q1, q2 ,..., qm ),

где k = 1, 2, …, n.

Взаимно независимые бесконечно малые изменения (так называемые вариации) обобщенных координат обозначают δq1, δq2 , ..., δqm . Соответ-

ствующие бесконечно малые изменения (вариации) декартовых координат точек системы выражаются как дифференциалы функций m переменных:

где k = 1, 2, …, n.

В частном случае для систем с одной степенью свободы, имеющих одну обобщенную координату q,

δxk = dxk δq; dq

δyk = dyk δq; dq

δzk = dzk δq, dq

где k = 1, 2, …, n.

103

Величины δxk ,δyk ,δzk представляют собой проекции вектора воз-

можного перемещения k-той точки системы δSk :

Вектор возможного перемещения точки равен вариации радиус-

вектора данной точки:

δSk = δrk .

3.7.4. Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений определяет условие равновесия ме- ханической системы с идеальными связями. Он был впервые сформулиро-

ван Стивином (1586 г.), обобщен Лагранжем (1788 г.) и распространен на системы с неудерживающими связями М.В. Остроградским (1842 г.).

Принцип возможных перемещений заключается в следующем.

Для равновесия системы с идеальными удерживающими связями не- обходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех актив- ных сил, приложенных к системе, при любом возможном перемещении по- следней равнялась нулю.

Уравнение, выражающее принцип возможных перемещений,

носит название общего уравнения статики. Оно позволяет решать задачи о равновесии механических систем с идеальными удерживающими связями.

Общее уравнение статики можно записать несколькими способами:

n

∑ ( X k δxk + Yk δyk + Zk δzk ) = 0.

k=1

Вуравнениях (3.55) Fk – вектор равнодействующей внешних актив-

ных сил, приложенных к k-той точке системы; X k , Yk , Zk – проекции упо-

мянутого вектора.

Для системы, обладающей m степенями свободы, можно составить m общих уравнений статики – для каждого из возможных перемещений сис- темы. При этом вариации координат точек системы, необходимые для под- становки в уравнения (3.55), следует определять каждый раз, считая, что все вариации обобщенных координат, кроме одной, равны нулю.

104

Если механическая система содержит твердые тела (звенья), возмож- ные перемещения которых представляют собой повороты вокруг непод- вижных или мгновенных осей, то элементарные работы активных сил, приложенных к этим телам, можно выразить произведениями главных мо- ментов активных сил относительно упомянутых осей на бесконечно малые углы поворота вокруг последних. Элементарную работу активных сил, приложенных к j-тому звену, с неподвижной (или мгновенной) осью вра- щения z j можно вычислить по формуле

δAj = M zjδϕ j ,

где M zj – алгебраическая сумма моментов активных сил, приложенных к данному звену, относительно оси вращения; δϕ j – бесконечно малый угол

поворота звена при возможном перемещении системы.

При решении задачи о равновесии системы, состоящей из несколь- ких звеньев, методами статики приходится расчленять систему и рассмат- ривать условия равновесия каждого звена в отдельности. При этом, если все силы действуют в одной плоскости, необходимо решать 3n уравнений равновесия (n – число звеньев), в которые требуется вводить силы взаимо- действия звеньев. Принцип возможных перемещений позволяет решать за- дачу о равновесии всей системы с помощью одного уравнения (общего уравнения статики), в которое силы взаимодействия звеньев не входят.

Принцип возможных перемещений можно также применять при рас- чете ферм для определения опорных реакций и усилий в стержнях.

3.8.Общие теоремы динамики системы

3.8.1.Дифференциальные уравнения движения системы

Все силы, приложенные к любой из материальных точек, образую- щих систему, можно представить в виде геометрической суммы двух сил

Fke и Fki , где Fke – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к данной (k-той) точке; Fki – равнодействующая всех внутренних сил, при-

ложенных к этой же точке. При этом, согласно второму закону динамики,

Проектируя векторное уравнение (3.56) на оси инерциальной системы отсчета, получаем три дифференциальных уравнения:

105