Материал: УМК Коровкин-Кулик

Уравнения (3.42) представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки.

Если данная материальная точка описывает плоскую кривую, то час- то оказывается более удобным проектировать (3.41) на естественные оси координат.

При этом получается система уравнений

где V – скорость точки; ρ – радиус кривизны траектории.

Уравнения (3.43) называются естественными уравнениями движе- ния несвободной материальной точки.

3.5.3. Принцип Д'Аламбера для несвободной материальной точки

Сила, с которой движущаяся материальная точка действует на тело, сообщающее ей данное ускорение, называется силой инерции. Если материальная точка одновременно взаимодействует с несколькими телами, сила инерции представляет собой геометрическую сумму сил, приложен- ных ко всем этим телам.

Согласно второму закону динамики, вектор силы, необходимой для сообщения материальной точке ускорения, равен

F = ma .

Следовательно, вектор силы инерции, приложенный к телу, сооб- щающему точке ускорение,

96

К несвободной материальной точке приложены активная сила F и реакция связи N , геометрическая сумма которых

F + N = ma .

Если к рассмотренным двум силам добавить силу инерции, то эти три силы будут уравновешивать друг друга.

Следовательно,

Векторное уравнение (3.45) выражает принцип Д'Аламбера для не-

свободной материальной точки: силы, приложенные к несвободной ма- териальной точке (активные силы и реакция связи), уравновешива- ются силой инерции.

Если условно принять, что на данную материальную точку, кроме сил, к ней приложенных, действует и сила инерции, то при таком допуще- нии точка будет находиться в равновесии, то есть в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. На этом основан метод сведения задач динамики точки к задачам статики (метод кинетостатики).

Решение задач динамики точки с помощью принципа Д'Аламбера (по методу кинетостатики) нужно производить в такой последовательности:

−мысленно остановить движение точки;

−к силам, действующим на точку при ее движении, добавить силу

инерции;

−составить статические уравнения равновесия полученной системы сил;

−решить уравнения равновесия относительно искомых величин.

3.6. Динамика относительного движения материальной точки

Рассмотрим особенности динамики относительного движения мате- риальной точки. Основную систему отсчета Oxyz будем считать инерци-

альной. На переносное движение и движение точки относительно подвиж- ной системы отсчета O1x1 y1z1 никаких ограничений налагать не будем.

3.6.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки

Согласно второму закону динамики, в инерциальной системе отсчета ma = R ,

где R – равнодействующая сил, приложенных к точке.

97

Второе слагаемое в правой части уравнения (3.47) называется силой инерции переносного движения (переносной силой инерции) и обозначается

Feин = −mae .

Третье слагаемое в правой части уравнения (3.47) называется корио-

лисовой силой инерции и обозначается

Векторное уравнение (3.48) называется основным уравнением дина-

мики относительного движения.

Проектируя уравнение (3.48) на оси подвижной системы отсчета и

ренциальные уравнения относительного движения материальной точки принципиально отличаются от дифференциальных уравнений абсолютного

98

движения последней. Это различие состоит в том, что правые части урав- нений (3.9) содержат лишь проекции равнодействующей сил, приложен- ных к точке, а правые части уравнений (3.49), кроме того, содержат еще проекции сил инерции (Кориолиса и переносной). Упомянутые силы инер- ции направлены против соответствующих ускорений aе и ak и приложены к телам, сообщающим точке эти ускорения.

Из рассмотрения выражений (3.49) следует, что материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета O1x1 y1z1 так же, как она двигалась бы относительно инерциальной системы отсчета Oxyz при условии, что к ней были бы приложены не только силы, на нее действую- щие, но также переносная и кориолисова силы инерции. Таким образом, при наличии ускорений переносного и Кориолиса (или хотя бы одного из них) движение в системе отсчета O1x1 y1z1 происходит по иным законам,

чем в системе Oxyz .

Частные случаи

1. Переносное движение поступательное. В данном случае система отсчета O1x1 y1z1 движется относительно основной системы Oxyz так, что ak = 0 . При этом Fkин = 0 .

Следовательно, уравнение (3.48) принимает вид mar = R + Feин .

Соответственно изменяются уравнения (3.49): в их правые части не будут входить проекции силы инерции Кориолиса.

2. Переносное движение равномерное прямолинейное поступатель- ное. В данном случае система отсчета O1x1 y1z1 движется относительно ос-

новной системы Oxyz так, что одновременно выполняются два условия: ae = 0 и ak = 0 . При этом Feин = Fkин = 0 . Следовательно, уравнение (3.48)

принимает вид

mar = R .

Соответственно изменяются уравнения (3.49): в их правые части со- всем не будут входить проекции сил инерции.

Таким образом, при равномерном прямолинейном поступательном переносном движении дифференциальные уравнения относительного дви- жения материальной точки не отличаются от дифференциальных уравне-

99

ний абсолютного движения последней. Это означает, что ускорение мате- риальной точки в подвижной системе отсчета O1x1 y1z1 такое же, как и в инерциальной системе Oxyz . Следовательно, система отсчета, движущаяся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, тоже является инерциальной.

3.6.2. Относительное равновесие

Относительное равновесие имеет место, когда ar = 0 . При этом воз-

можны два случая:

1)материальная точка не изменяет своего положения относительно подвижной системы отсчета O1x1 y1z1 (относительный покой);

2)материальная точка движется равномерно и прямолинейно отно- сительно подвижной системы отсчета.

Согласно уравнению (3.50), при относительном покое силы, приложен- ные к материальной точке, уравновешиваются переносной силой инерции.

Во втором случае

Векторному уравнению (3.52) соответствуют три скалярных уравнения

Согласно уравнению (3.52), при равномерном и прямолинейном от- носительном движении силы, приложенные к материальной точке, уравно- вешиваются переносной и кориолисовой силами инерции.

100