Материал: УМК Коровкин-Кулик

Уравнения (3.57) описывают движение одной (k-той) точки системы. Для описания движения всей системы, состоящей из n точек, требуется 3n уравнений данного вида. Уравнения (3.57) называются дифференциаль- ными уравнениями движения системы, при условии, что k = 1, 2, …, n.

3.8.2. Теорема о движении центра масс системы

Центром масс (или центром инерции) системы называется геометри- ческая точка пространства с координатами

Величина М называется массой системы.

Положение центра масс можно также определить радиус-вектором по формуле

где rk – радиус-вектор k-той точки системы.

Выражения (3.58) получаются путем проектирования выражения (3.59) на оси координат.

Если почленно сложить n уравнений (3.56), то получится следующее выражение:

106

Векторные суммы в правой части представляют собой главные век- торы внешних и внутренних сил системы соответственно. Главный вектор внутренних сил равен нулю.

Поэтому

k =1

Дважды дифференцируя выражение (3.61) по времени, получаем

k =1

Левые части выражений (3.60) и (3.62) одинаковы. Следовательно, должны быть равны и правые части этих выражений. Приравнивая правые части выражений (3.60) и (3.62), получаем векторное уравнение

эквивалентное трем скалярным уравнениям:

Таким образом, доказана теорема о движении центра масс: центр масс системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, обладающая массой всей системы, под действием силы, равной глав- ному вектору внешних сил.

Важнейший практический вывод из теоремы: внутренние силы не могут влиять на движение центра масс.

Частные случаи

1. Re = 0 . При этом, согласно уравнению (3.63), aC = 0 . Следова-

тельно, в данном случае центр масс не имеет ускорения, то есть остается в покое или движется равномерно и прямолинейно (VC = const ). В этом вы-

ражается так называемый закон сохранения движения центра масс.

107

2. X e = 0 . При этом, согласно уравнению (3.64), ɺɺxC = 0 , что соответ-

ствует xɺC = const . Следовательно, в данном случае проекция центра масс

на ось Ox остается неизменной: Vcx = Vcx0 . Если к тому же Vcx0 = 0 , то Vcx = 0 все время движения.

3.8.3. Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения механической системы называется главный вектор количеств движения материальных точек, образующих систему.

Согласно определению, количество движения системы находится по формуле

k =1

Однако в ряде случаев K удобнее определять по другой формуле, полученной следующим путем.

Дифференцируя выражение (3.61) по времени, получаем

k =1

Правые части выражений (3.65) и (3.66) одинаковы, следовательно, равны и их левые части. Это означает, что вектор количества движения сис- темы равен массе системы, умноженной на вектор скорости центра масс:

Левую часть этого векторного уравнения можно рассматривать как производную по времени от количества движения системы,

Произведение, стоящее в правой части уравнения (3.69), представля- ет собой элементарный импульс главного вектора внешних сил, равный геометрической сумме элементарных импульсов внешних сил,

108

Поэтому

k =1

Дифференциальное уравнение (3.70) выражает теорему об измене- нии количества движения системы в дифференциальной форме: измене-

ние количества движения системы за бесконечно малый промежуток времени равно геометрической сумме элементарных импульсов внешних сил.

Изменение вектора количества движения системы за конечный про-

Векторное уравнение (3.71) выражает теорему об изменении количе- ства движения системы в конечной форме: изменение количества движе-

ния системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за данный промежуток времени.

Проектируя уравнение (3.71) на оси координат, получаем соответст-

венно

K x − Kx0 = Sxе;

K y − K y0 = S yе;

K z − K z0 = Szе.

(3.72)

mVCx − mVCx0 = Sxе;

mVCy − mVCy0 = S yе;

mVCz − mVCz0 = Szе.

109

Проекции импульса главного вектора внешних сил, стоящие в пра- вых частях уравнений (3.72), находятся по формулам

В рассмотренных частных случаях проявляется так называемый за- кон сохранения количества движения системы.

Теоремой об изменении количества движения системы удобно поль- зоваться при исследовании движения жидких тел. Она широко применяет- ся в теории удара и в изучении движения тел переменной массы.

3.8.4. Теорема о кинетическом моменте системы

Кинетическим моментом системы относительно некоторого цен- тра называется главный момент количеств движения материальных то- чек, образующих систему, взятый относительно данного центра.

По определению кинетический момент системы относительно не- подвижного центра О

k =1

где M 0 (mkVk ) – момент количества движения k-той точки относительно заданного центра.

Проверяя теорему о моменте количества движения материальной точки к k-той точке системы, будем иметь:

110