Материал: УМК Коровкин-Кулик

3.9.2. Определение главного вектора сил инерции системы

Найдем выражение для главного вектора сил инерции системы в об- щем случае.

По определению главный вектор сил инерции системы представляет собой геометрическую сумму векторов сил инерции всех точек системы

n

Rин = ∑ (−mk ak ) .

k =1

Согласно формуле (3.63)

∑n (−mk ak ) = −Mac , k =1

где Wc – вектор ускорения центра масс.

Таким образом, главный вектор сил инерции системы во всех случа- ях можно определять по формуле

При криволинейном движении центра масс

ac = acτ + acn .

Следовательно,

Rин = Rτин + Rnин ,

где Rτин = −Macτ – касательная составляющая главного вектора сил инерции;

Rnин = −Macn – нормальная составляющая главного вектора сил инерции.

3.9.3. Определение главного момента сил инерции неизменяемой системы

Главный момент сил инерции любой системы относительно произ- вольно выбранной точки О

k =1

где rk – радиус-вектор k-той точки, имеющий начало в выбранном центре О.

Главные моменты сил инерции относительно осей, проходящих че-

рез точку О, равны проекциям вектора M0ин на эти оси.

121

При поступательном движении системы ускорения всех ее точек одинаковы и равны ускорению центра масс ( ak = ac ).

При этом правая часть выражения (3.92) примет вид

k =1

Следовательно, при поступательном движении системы

M oин = Mrc × (−ac ) = rc × (−Mac ) = rc × Rин .

Главные моменты сил инерции поступательно движущейся системы относительно осей координат можно определять по формулам

Mxин = yc Zин – zc Yин;

Myин = zc Xин – xc Zин;

Mzин = xc Yин – yc Xин,

где xc, yc, zc – координаты центра масс; Xин, Yин, Zин – проекции главного вектора сил инерции.

Если за центр приведения взять центр масс, то rc = 0 .

Поэтому главный момент сил инерции поступательно движущейся системы относительно центра масс данной системы равен нулю:

Mcин = 0 .

В этом случае равны нулю и главные моменты сил инерции относи- тельно любых осей, проходящих через центр масс, например, осей Сx, Сy, Сz:

Мxин = Мyин = Мzин = 0.

При вращении системы вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоро- стью ω и угловым ускорением ε сила инерции каждой точки системы имеет касательную и нормальную составляющие. Линии действия всех нормальных составляющих (центробежных сил) пересекают ось вращения. Поэтому главный момент сил инерции относительно оси вращения равен сумме моментов одних касательных составляющих этих сил:

где rk – расстояние k-той точки до оси вращения.

122

Сумма в правой части последнего выражения представляет собой момент инерции системы относительно оси вращения Jz. Следовательно, главный момент сил инерции системы относительно оси вращения опреде- ляется по формуле

Знак «минус» в правой части выражения (3.93) указывает, что Mzин направлен против углового ускорения системы.

Плоскопараллельное движение системы можно рассматривать как составное движение, слагающееся из переносного поступательного движе- ния вместе с центром масс и вращательного вокруг оси Сξ , проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения. При этом уско- рение каждой точки системы следует считать равным сумме двух ускорений

ak = ac + ark ,

где ark – ускорение k-той точки во вращательном движении вокруг оси Сξ.

Сила инерции каждой точки будет иметь две составляющие:

Fkин = Fekин + Frkин ,

где Fekин = −mk ac – сила инерции переносного движения; Frkин = −mk akr –

сила инерции относительного движения.

Главный момент всех сил инерции относительно центральной оси Сξ, получим, складывая два момента, один из которых есть главный мо-

3.10. Общее уравнение динамики.

Принцип Д'Аламбера – Лагранжа

При движении механической системы силы инерции уравновешива- ют силы, приложенные к точкам системы.

После того, как движущаяся система мысленно остановлена (ко всем ее точкам приложены соответствующие силы инерции), условия динами-

123

ческого равновесия можно выразить с помощью принципа возможных пе- ремещений. Для равновесия мысленно остановленной системы необходи- мо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции при любом возможном перемещении системы из данного ее положения равнялась нулю.

Применение принципа возможных перемещений в этом случае дает:

Уравнение (3.95), одновременно выражающее принцип Д'Аламбера и принцип возможных перемещений, называется общим уравнением динамики.

Как и общее уравнение статики, общее уравнение динамики можно записать несколькими способами:

Поскольку проекции силы инерции k-той точки равны

X kин = −mk ɺɺxk ;

Ykин = −mk ɺɺyk ;

Zkин = −mk ɺɺzk ,

то третье уравнение (3.96) можно переписать в виде

точки.

Количество общих уравнений динамики, которые можно составить для механической системы, равно числу степеней свободы последней.

124

3.11. Уравнение Лагранжа (второго рода)

Рассмотрим систему материальных точек. Если система несвободна, то наложенные на нее связи предполагаются удерживающими и идеаль- ными. Пусть δrk – возможное перемещение k-той точки, mk – ее масса,

ak – ускорение в инерциальной системе отсчета, а Fk – равнодействующая всех активных сил, приложенных к k-той точке. Тогда имеет место общее уравнение динамики

где Q j – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q j .

Она в общем случае является функцией q , qɺ и t.

Выражение для элементарной работы сил инерции записывается в виде

общее уравнение динамики в обобщенных координатах

Величины δq j (j = 1, 2, …, m) независимы, и число обобщенных ко-

ординат равно числу степеней свободы системы. В силу независимости ве- личин δq j последнее уравнение удовлетворяется тогда и только тогда, ко-

гда равны нулю коэффициенты при всех δq j . Поэтому (3.100) эквивалент-

но следующей системе m уравнений:

125