Материал: УМК Коровкин-Кулик

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		dy		πt
Vy	=		= πcos		;
Vy	=	dt	= πcos		;
		dt		2

	=	dVy	=	π2		πt
ay				2	sin	.
		dt
						2

При t1 =1,5 с: Vx1 =12,56 см/с; Vy1 = −2,22 см/с; V1 = Vx1 +Vy1 =12,76 см/с.

a	x1	= 0 см/с2; a	= −3,49 см/с2; a =	a2	+ a2	= 3, 49 см/с2.
	x1	y1	1	x1	y1

Касательное и нормальное ускорения точки при t = 1,5 c:

		a		=	Vx1ax1 + Vy1ay1		= 0,607 см/с2;
		a		=			= 0,607 см/с2;
			τ1			V1
						V1

a	=		a2	− a2		= 3,492 − 0,6072 = 3, 44 см/с2.
n1		1			τ

Полученные результаты показываем на рисунке траектории точки. Радиус кривизны траектории в точке (x1, y1)

ρ1 = V12 = 12,762 = 47, 2 см. an1 3,44

Движение точки в момент времени t1 = 1,5 c – ускорение, так как на- правление вектора скорости и вектора касательного ускорения совпадают

(см. рис. 48).

Задание для самостоятельного решения

Найти траекторию точки М шатуна кривошипно-ползунного меха-

низма, если r = l = 60 см; МВ = 1 l; ϕ = 4πt (t – в секундах), а также опре- 3

делить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда ϕ = 0 (рис. 49).

Рис. 49

186

Тема 8. Вращательное движение твердого тела

Цель занятия: приобретение навыков определения скоростей и уско- рений точек в простейших механических передачах.

Вращательным движением твердого тела называется такое движе- ние, которое описывается одним уравнением

ϕ = ϕ(t) ,

где ϕ − угол поворота тела вокруг неподвижной оси.

Основные кинематические характеристики вращающегося тела:

ω =	dϕ		ε =	dω	=	d	2ϕ
		;						.
				dt		dt 2
	dt

Скорости и ускорения точек вращающегося тела определяются по формулам

V = ωh ,

где h − расстояние от точки до оси вращения;

a = an2 + aτ2 ;

an = ω2h ; aτ = εh .

Задача 1. Вал радиусом R = 10 см приводится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением х = 100 t2, где х – расстояние гири от места схода нити с поверхно- сти вала, выраженное в сантиметрах; t – время в се- кундах. Определить угловую скорость ω и угловое ускорение ε вала, а также полное ускорение (рис. 50).

Решение. Зная, что V = dx , найдем: V = 200t, dt

но V = ωR, 200t = ωR, => ω = 200t = 200t = 20t c–1 .

Угловое ускорение найдем, взяв производную от ω по

ускорение по формуле a = aτ2 + an2 , или

a = Rε2 + ω4 = 10202 + (20t)4 = 2001 + 400t4 см/с2.

Рис. 50

t: ε = dω = 20, dt

187

Задача 2. Решить предыдущую задачу в общем виде, выразив уско- рение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние х, радиус ко- леса R и ускорение гири ɺɺх = а0 = const.

Решение.

Зная,

что

V =

а также,

что V = ωR,

найдем

х,

х = ωR ω =

dω

ɺɺ

Угловое ускорение –

это производная от ω,

ε =

, тогда

ɺ4

a = R ε2 + ω4 = R

= a2

Преобразуем это выражение:

(

2a0 x

V =

a = a

= a 1 +

4x2

2a x

Задача 3. В механизме стрелочного индикатора

движение от рейки мерительного штифта 1 передается

шестерне 2, на оси которой укреплено зубчатое колесо 3,

сцепляющееся с шестерней 4, несущей стрелку. Опре-

делить угловую скорость стрелки, если движение

штифта задано уравнением x = a sin kt и радиусы зубча-

Рис. 51

тых колес соответственно равны r2, r3, r4 (рис. 51).

Решение:

Зная, что движение штифта x = a sin kt, находим V:

V= dx = ak cos kt . dt

Скорость штифта равна скорости точек обода колеса 2, значит,

V = ω

или ω

−3

ak cos kt

−3 2

Линейные скорости точек колеса 3 и 4 равны, значит, ω2−3r2 = ω4r4 .

Находим ω = ω2−3r3

r3ak

cos kt, это и будет угловая скорость стрелки

r2r4

гальванометра.

188

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно. Через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4 π рад/с. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мин?

Задание 2. Маховое колесо радиусом R = 2 м вращается равноуско- ренно из состояния покоя. Через 10 с точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью V = 100 м/с. Найти скорость, нормальное, касательное ускорения точек обода колеса для момента t1 = 15 с.

Тема 9. Плоскопараллельное движение твердого тела

Цель занятия: приобретение навыков определения скоростей и уско- рений точек при плоском движении твердого тела.

Движение твердого тела называется плоским или плоскопараллель- ным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных неко- торой неподвижной плоскости.

Скорости точек при плоском движении можно определить по фор- мулам:

1. VB = VA + VBA ,

где VA –	скорость некоторой точки, принимаемой за полюс; VBA – ско-
рость во вращательном движении вокруг полюса.
	VBA = ωAB ; VBA AB и направлен в сторону ω .
2.	ПрABVB = ПрABVA .
Проекции скоростей двух точек на ось, проходящую через эти точки,
равны между собой.
3.	VA = ωAP ; VA AP ,

где AP − расстояние от точки до МЦС (точка P ).

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю: VP = 0 .

189

Способы нахождения МЦС

1)	2)	3)	4)
		Рис. 52

Во всех четырех случаях известны направления скоростей точек А и В тела. Мгновенный центр скоростей (точка Р) определяется пересечением перпендикуляров, восстановленных к скоростям VA и VВ . В четвертом случае МЦС находится в бесконечности ( ω = 0 ), тело в данный момент времени будет совершать поступательное движение (VA = VB ).

Ускорения точек при плоском движении находятся по формуле

aB = aA + aBA ,

где aA – ускорение точки, принятой за полюс; aBA – ускорение во враща-

тельном движении вокруг полюса.

Пример 1. Определить для заданного механизма скорости и ускоре- ния обозначенных точек, а также угловые скорости и угловые ускорения звеньев механизма (рис. 53).

Дано: S

= 5t2 см; R = 2 см; АВ = ВО = 6 см;

t1 = 1с.

Решение. Определяем скорость и уско-

рение точки А (рис. 54):

dSA

= 10t ; при t = 1 c V

= 10

см

;

dVA

= 10

см

с2

Рис. 53

Точка Р1 –

МЦС колеса 1, поэтому

ω =

= 5 с-1 .

АР

Строим точку Р2 –

МЦС звена 2.

190

Источник: https://studfile.net/preview/16531417/

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ