Материал: УМК Коровкин-Кулик

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Дано: m1 = 2700 кг; m2 = 1800 кг; l = 6 м. x = ?

Решение. Для определения перемещения платформы применим тео- рему о движении центра масс системы, состоящей из платформы и отлив- ки, в проекции на ось Х.

..

M xc = ∑ Fкех ;

∑ Fкхе = 0 , т. к. все внешние силы вертикальны;

..

= 0 ;

 

.

= c1 ; с1 = 0, т.к. V0 = 0 по условию;

M xc

M xc

 

 

.

= 0 →Mxc

= c2 = const , т.е.

 

M xc

 

 

 

 

Mxc

= Mxc .

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Определяем Mxc

по формуле

 

 

 

 

0

 

 

 

= m1x1 + m2 x2 ;

 

 

 

 

Mxc

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

l

;

x

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx

= m

l

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

1

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть платформа переместится вправо на величину х. Находим Mxc :

Mx = m

x +

l

 

+ m

( x + l ) .

 

 

 

 

 

c

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Приравнивая выражения Mxc , получим:

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

l

= m x + m

 

 

 

l

+ m x + m l ;

 

 

 

 

 

 

1 2

 

2

 

1 2

 

2

2

 

 

 

(m1 + m2 ) x = −m2l ;

x = −

 

 

m2l

 

= −

1800 × 6

= −2, 4 м .

 

m1

+ m2

 

4500

 

 

 

 

 

Перемещение платформы происходит влево на величину 2,4 м, о чем свидетельствует полученный знак (−) .

Пример 2. Определить силу давления на грунт насоса для откачки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных частей – корпуса Д и фундамента Е равна М1, масса кривошипа (ОА = а) равна М2, масса ку- лисы В и поршня С равна М3. Кривошип ОА, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем (рис. 63).

P1 = M1g; P2 = M2g; P3 = M3g.

196

Решение. Для определе- ния искомой реакции N приме- ним теорему о движении цен- тра масс в проекции на ось Y:

M y = −P − P − P + N ;

ɺɺ

1

2

3

c

N = P + P + P + My .

1

2

3

ɺɺ

c

Выражение Myc найдем по формуле

Myc = M1 y1 + M 2 y2 + M3 y3 ;

ϕ = ωt .

y = −

AO

cosϕ = −

a

cosωt ;

Рис. 63

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

y2 = −OB = −acosϕ = −acosωt ; y3 = −OE = const .

Myc = −(M1 + 2M3 ) a cos ωt − M 2 y2 . 2

Продифференцируем дважды это выражение:

.

= (M1 + 2M3 )

aω

sin ωt ;

M y

2

c

 

 

 

 

 

 

..

 

 

2

 

 

 

M y

= (M1 + 2M3 )

aω

cos ωt ;

 

c

 

 

2

 

 

 

 

N = (M1 + M 2

+ M3 ) g + (M1

+ 2M3 )

aω2

cos ωt .

 

 

 

 

2

 

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. На средней скамейке лодки, находившейся в покое, си- дели два человека. Один из них, массой М1 = 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен перемес- титься второй человек массой М2 = 70 кг, для того чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м.

Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

197

 

Задание 2.

Два груза

массами

 

М1 и М2 соединены нерастяжимой ни-

 

тью, переброшенной через блок А,

 

скользят по гладким боковым сторо-

 

нам прямоугольного клина, опираю-

 

щегося основанием ВС на гладкую

Рис. 64

горизонтальную

плоскость.

Найти

перемещение клина по горизонталь-

ной плоскости при опускании груза М1 на высоту h1 = 10 см. Масса клина М1 = 4М1 = 16М2, массой нити и блока пренебречь (рис. 64).

Теорема об изменении кинетического момента системы

Цель занятия: изучение особенностей применения теоремы об изме- нении кинетического момента к исследованию движения системы.

Главный момент количеств движения всех точек системы относи- тельно центра или оси называется кинетическим моментом системы отно- сительно этого центра или этой оси.

K0 = ∑m0 (mкVк ) – кинетический момент относительно центра;

Kz = ∑mz (mкVк ) – кинетический момент относительно оси Z.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра и оси

d K0 = ∑m0 (Fке ) – относительно центра; dt

dKz = ∑mz (Fке ) – относительно оси; dt

Если ∑m0 (Fке ) = 0 , то K0 = const .

Если ∑mz (Fке ) = 0 , то Kz = const .

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то

Kz = J zω .

Пример 1. Круглая однородная горизонтальная платформа радиу-

сом r = 3 м и массой m = 20 кг вращается без трения вокруг вертикаль-

ной оси с угловой скоростью ω = 2

рад

. В точке А на ободе платформы

 

0

с

 

 

 

198

находится материальная точка К мас-

 

сой m2 = 10 кг. В некоторый момент

 

времени (t = 0) точка К начинает дви-

 

гаться по хорде АВ платформы с по-

 

стоянной

относительной скоростью.

 

Определить угловую скорость плат-

 

формы в момент, когда точка К попа-

 

дает в точку В хорды АВ (рис. 65).

 

Решение. На систему действуют

 

внешние силы: P, Q –

силы тяжести

 

точки и платформы; RD, RE – реакции

 

подшипника Д и подпятника Е.

 

Применим для

нахождения ω

 

теорему

об изменении

кинетического

Рис. 65

момента относительно оси Z

dKz = ∑mz (Fке ); dt

∑mz (Fке ) = 0 ; Kz = const и Kz = Kz0 ;

Kz = Kzпл + Kzточ ,

где K zпл = J zω – кинетический момент платформы;

K

точ = m V

 

r cos 30° + m ωr –

 

кинетический момент точки.

 

z

2 отн

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Vпер = ωr ,

Так как точка совершает сложное движение,

 

 

 

 

 

 

 

Kzпл =

m1r2

w ,

 

т.к. J z =

m1r 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

K

z

=

m1r2

w + m V

 

 

r cos30° + m wr2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

отн

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

z0

= (m + 2m

) w0r2

; при t0 = 0

Vотн = 0.

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравнивая значения Kz, получаем:

(m + 2m ) w0r2

= K

z0

= (m + 2m ) wr 2

+ m V

 

r cos30° ;

1

2

2

 

 

1

2

2

2

отн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m2Vотн cos30°

 

2 ×10 × 4

 

/ 2

 

 

 

 

 

w = w0

-

= 2 -

3

=

 

рад

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

.

(m1 + m2 )

(20 + 2

×10)

 

 

 

3

 

 

 

 

 

с

199

Пример 2. Через блок, массой которого пренеб- регаем, перекинута веревка (рис. 66); в точках А и В находятся два человека одинакового веса (P1 = P2). Что произойдет с человеком В, если человек А станет под- ниматься с относительной по отношению к веревке скоростью U?

Решение. На механическую систему, состоя- щую из невесомого блока, троса и двух человек, дей- ствуют внешние силы: P1, P2 – силы тяжести; x0, y0 – реакции опоры.

 

 

dKz

= ∑mz (

 

);

 

 

Fке

 

 

dt

Рис. 66

 

 

= C = const .

 

Kz

 

 

 

 

Так как при t0 = 0 система находилась в покое, то Kz0 =0 и значит, Kz = 0;

Kz = KzA + KzB ,

где Kz A ; KzB

– кинетические моменты относительно оси Z человека А и В.

 

Абсолютная скорость человека А (обозначим ее V1)

 

 

 

 

 

 

 

 

V1 = U − V2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

P

(U

− V

)r .

 

 

 

 

 

K

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zA

 

 

g

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Абсолютная скорость человека B –

V2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

zB

 

=

P2

V r ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

K

z

= −

 

1

(U − V

 

)r +

2

V r = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

2

 

 

 

g

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =

U

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

 

 

 

Задание 1. При пуске в ход электрической лебедки

 

 

 

к барабану А приложен вращающий момент mвр , пропор-

 

 

 

циональный времени, причем mвр = at, где а – постоянная.

 

 

 

Груз В массой М1 поднимается посредством каната, нави-

 

 

 

того на барабан А радиусом r и массой М2. Определить

 

 

 

угловую скорость барабана, считая его сплошным цилин-

 

 

 

дром (рис. 67). В начальный момент лебедка находилась в

 

Рис. 67

 

покое.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

Источник: https://studfile.net/preview/16531417/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ