Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Подставим в левые и правые части равенств (6.8) и (6.9) вместо x значение a и используем условия (6.7). При этом получим

f (a) C0;

C1;

(a)

(a) 2 1 C2;

...; f

(n)

(a) n(n 1) ... 2 1 Cn.

(a) 3 2 1 C3;

Отсюда

C0 f a ;

1 2

C1 f a ;

a ;

a .

1 2 3

a ; ;Cn

1 2 ... n

Используя обозначение

n! 1 2 ... n

0! 1 и подставляя найденные

значения C0,C1,...,Cn в формулу (6.8), получим искомый многочлен, который называется многочленом Тейлора для функции f (x):

P x f a	f' a	x a	f a	x a 2	...	f n a	x a n.

n	1!	2!				n!

Обозначим Rn(x) – разность значений данной функции и ее многочлена Тей-

лора (рис.6.5): Rn (x) f (x) Pn(x). Тогда						f (x) Pn (x) Rn (x) или в раз-
вернутом виде:
f (x) f (a)	f (a)	(x a)	f (a)	(x a)2	...		f (n) (a)	(x a)n	Rn (x). (6.10)
			2!
1!							n!

Слагаемое Rn x в формуле (6.10) на-		у
зывается остаточным членом. Формула
(6.10) дает возможность заменить функцию
f (x) многочленом Pn x с соответствую-
щей степенью точности, определяемой зна-
чением остаточного члена Rn x .
		О	a
Для оценки величины R x запишем
n
остаточный член в форме
Rn (x)	(x a)n 1	Q(x),
	(n 1)!

y=f(х)

y=Pn(х)

f(х)

Pn(х)

t х х

Рис.6.5

(6.11)

где Q(x) некоторая неизвестная функция. В соответствии с этим обозна-

чением перепишем формулу (6.10):


f(x) f(a)	f (a)	(x a)	f	(a)	(x a)2 .
				2!
1!

f(n)(a)	(x a)n	(x a)n 1	Q(x).	(6.12)
n!	(x a)n	(n 1)!	Q(x).	(6.12)
n!		(n 1)!
				67

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

При фиксированном x (напомним, что a – заданное число) функция Q(x) имеет определенное значение, которое обозначим q.

Введем вспомогательную функцию от аргумента t, причем t заключено между a и x (рис.6.5):

(t)

F(t) f (x) f (t)

(x t)

...

f (n)

(t)

n 1

(x t)

(6.13)

(n 1)!

где значение q определяется из соотношения (6.12) при фиксированном x и заданном a.

Покажем, что функция F(t) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля на отрезке [а, х], а именно: эта функция непрерывна на отрезке [а, х] и дифференцируема в интервале (а, х), так как является линейной комбинацией функций, обладающих указанными свойствами, и на основе формулы (6.12) F x F a 0. Поэтому к функции F(t) применима теорема Ролля. Найдем

F t , пользуясь формулой (6.13):

(t)

(x t)

(t)

(x t)

F (t) f

(t) f

f (t)

(x t)2

f (n)(t)

(x t)n 1

nf (n)(t)

(x t)n 1

(n 1)!

f (n 1)

(t)

(x t)

(n 1)q

(x t)

(n 1)!

Или после сокращения

f (n 1)(t)

(t)

(x t)

На основе теоремы Ролля существует точка t = c (a, x), в которой

F (c) 0.

В этой точке получим

f (n 1)(c)

(x c)n

(x c)n 0.

откуда q = f(n + 1)(c). Подставляянайденное значениеq в формулу (6.11), имеем

Rn (x)	f (n 1) (c)	(x a)n 1.	(6.14)

	(n 1)!

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Полученное выражение и определяет остаточный член в форме Ла-

гранжа.

Окончательно формула (6.11) примет теперь вид

f (x) P (x) R (x) f (a)

(a)

(x a)

(a)

(x a)2

f (n) (a)

(x a)n

f (n 1)(c)

(x a)n 1.

(6.15)

(n 1)!

Последнее выражение называется формулой Тейлора для функции f(x) с

остаточным членом в форме Лагранжа.

В частности,

при n = 0 формула

(6.15)

примет

вид f(x) =

f (a) f (c)(x a), т.е. формулы Лагранжа.

При n = 1 имеем

f (x) f (a)

f (a)

(x a)

f (c)

(x a)2 .

(6.16)

Отбросив в последнем выражении остаточный член, имеем

f (a x) f (a) f (a) х,	x x a,
или
f a df a .

Таким образом, получим известное приближенное представление приращения функции в данной точке x = a ее дифференциалом в этой точке.

Рассмотрим предел отношения остаточного члена в форме Лагранжа

(6.14) к разности (x a)n				при x a :
lim	Rn (x)	lim	f (n 1)(c)(x a)n 1			1		lim	f n 1 c (x a) 0.
lim		lim						lim	f n 1 c (x a) 0.
x a (x a)n		x a	(n 1)!(x a)n			(n 1)!x a
Итак,					Rn x
				lim	Rn x		0,		(6.17)
				lim			0,		(6.17)
				x a x a n
что означает
				R (x) o((x a)n),					(6.18)
				n

где «о-малое» o((x a)n) – величина более высокого порядка малости, чем

(x a)n . В указанной форме остаточный член	R x был представлен
Дж. Пеано, и формула (6.15) примет вид	n
Дж. Пеано, и формула (6.15) примет вид
	69

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

f (x) f (a)	f (a)	(x a)		f (a)	(x a)2
	1!			2!

	f (n)(a)		(x a)n o((x a)n ).			(6.19)

	n!

Формула (6.19) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

6.1.6.Примеры разложения функций по формуле Маклорена

Вразделе 6.1.5 показано, что достаточно гладкие функции с помощью формулы Тейлора можно приближенно, с определенной степенью точности заменить алгебраическим многочленом. Ошибка такой замены определяется величиной остаточного члена формулы Тейлора (6.14). Так как точка с, как

правило, неизвестна, то величину Rn x нельзя вычислить. В этом случае не-

обходимо оценить значение модуля Rn x , т.е. найти абсолютную погреш-

ность приближенного равенства f x Pn x .

Рассмотрим примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора при а = 0:

f (x) f (0)

(0)

x2 ...

(n)

(0)

(n 1)

(c)

xn 1, (6.20)

(n 1)!

где точка с 0,x . Этот частный случай формулы Тейлора называется фор-

мулой Маклорена.

Построим формулу Маклорена для следующих функций. 1. f(x) = ех. Вычислим значения производных:

f ' x f '' x ... f n x ex

при x = 0

f (0) f

(n)

(0) e

(0) f

(0) ... f

Таким образом, получим

ex 1

(6.21)

Ошибка приближенного равенства (6.21) определяется оценкой остаточного члена вида

	x	f n 1 c		ecxn 1
Rn			xn 1		, c 0,x .
		n 1 !
				n 1 !

В частности, если функция f(x) = ех задана на отрезке [–1; 1] то получим сле-

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

дующую оценку Rn(x):

ec xn 1

;

c 1;1 .

n 1 !

R x

Итак,

для x

1;1 , т. е. абсолютная погрешность прибли-

n 1 !

женного равенства (6.21) для функции ex на отрезке [–1; 1]

(n 1)!

Определим, при каком значении n абсолютная погрешность приближенного равенства (6.21) на отрезке [–1; 1] не превосходит 0,001. Нужное значение n найдем из условия

0,001.

n 1 !

Вычислим последовательно:

1! 1;

2! 2;

3! 3 2 6;

4! 3! 4 24;

5! 4!5 120;

6! 5! 6 720;

7! 6!7 5040 .

Очевидно,

что 0,001

при n 1 7, или n 6 . Итак,

с абсолютной погрешностью,

не превосходя-

щей 0,001, имеем приближенную формулу

ex 1

...

x 1;

1 .

В частности, при x = 1 получим

ex 1

...

2,718.

2. f x sin x. В точке x = 0

значение функции

f (0) 0. Вычислим ее

производные в этой точке:

;

(x) cosx sin x

(0) 1;

sin x

;

(x) sinx

(0) 0;

;

(x) cosx sin x 3

(0) 1;

f (4)(x) sinx

(4)(0) 0.

sin x

;

Отсюда имеем рекуррентную формулу

	n		π
f		x sin x n		;
			2

f n 0 sin nπ 2

n 1

1 2 , n нечетное,

0, n четное.

Источник: https://studfile.net/preview/16405315/

Смотрите также:

_04_Mериме
'Славная революция' в Англии и её последствия
0002d82e-42262f6d
00511
00598
02-20-GP-DNA-tech2-ГМО
03-20-GP-SequencingHumanGenome
03. Объектно ориентированное моделирование
04 Расстройства кровообращения (полнокровие, кровотечение, кровоизлияние, стаз)
06.билет 6 Давыдова