Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Подставляя полученные значения в формулу (6.20), получим разложение

то абсолютная погрешность такого приближения равна абсолютной величине остаточного члена:

Следовательно, sin 20 = 0,342 с точностью до 0,001.

3. f x cos x . Аналогично предыдущей процедуре получим

21 n2 , n четное.

4.f(x) ln(1 x). Данная функция определена и бесконечное число раз дифференцируема для x 1. Вычислим производные:

где остаточный член

72

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

f ' x 1 x 1; f x 1 1 x 2;

f x 1 2 1 x 3;... ; f n x 1 ... n 1 1 x n.

6.1.7. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Часто при вычислении предела lim f (x)непосредственная подстановка в

x a

выражение для f(x) вместо х предельного значения a приводит к одной из следующих неопределенностей:

В этом случае нельзя судить о том, существует или нет указанный предел, не говоря уже о его значении в случае существования последнего. Поэтому говорят, что в точке a имеет место неопределенность соответствую-

щего типа, а вычисление предела называют раскрытием неопределенности.

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Тогда, если существует предел lim f ' x , то существует и предел отно-

x a g' x

шения функций и они равны, т.е.

Доказательство. В формуле (6.23) значение a может быть как конечным, так и бесконечным.

1. Рассмотрим случай, когда a конечное число. Пусть x a точка рассматриваемой окрестности. По условию теоремы функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а, значит, они непрерывны в этой окрестности. Доопределим их в точке x = a так, чтобы они были непрерывны в точке а: f a 0; g a 0. Применяя формулу Коши (6.3), будем иметь

что и требовалось доказать.

Аналогичную теорему можно доказать и для неопределенности

типа .

74

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

сформулировать следующее правило.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых (или двух бесконечно больших) функций существует и равен пределу отношения их производных

если выполнены условия:

1) функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой ок-

дифференцируемы: f (x) cos x, g (x) =1. Предел отношения производных существует:

Решение. При х → +∞ имеем неопределенность типа . По правилу

Лопиталя

75

СПБГУАП группа 4736 Контакты https://new.guap.ru/i03/contacts

Получена неопределенность типа . Применим правило Лопиталя еще раз:

Отметим, что формула (6.25) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный) существует, т.е. при выполнении условия 3 правила Лопиталя. Иногда предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий справа, не существует. Например,

предел lim x sinx существует и равен 1. Действительно,

x x

Но отношение производных

(x sin x) 1 cosx 1 cosx x 1

при x не имеет предела.

Неопределенности типа {0∙∞}, {∞ – ∞}. Вначале с помощью тождественных преобразований следует привести предел к неопределенности типа

Лопиталя.

Пример 6.4. Найти

lim(1 x)tg x.

x 1 2

Решение. Подставив в выражение для заданной функции предельное значение аргумента x 1, получим

Таким образом, имеем неопределенность типа 0 . Учитывая, что

76