Материал: ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА_ГОРНЫЙ

1

x

lim 1

е.

x

x

2. Рассмотрим случай

x . Введем новую переменную t x 1

или x t 1 . При t

x . Имеем

1

x

1 t 1

t

t 1

lim 1

lim 1

lim

t

x

x

t

1

t t 1

t 1 t 1

1 t

1

lim

lim

1

lim

1

е 1 е.

t t

t

t

t

t

Объединяя оба случая, окончательно получим

1 x

lim 1

е.

x

x

Замечание. Если в равенстве

1 x

положить

1

α, то при

lim

1

e

x имеем α 0

x

x

x

(α 0) и, следовательно,

lim 1 α 1/α

е.

α 0

Пример 4.7. Найти lim

2x 1 3x

.

x

2x 5

Решение. Заметим, что

1

1

2x 1

x

2

2

x

lim

lim

lim

x

1.

5

5

x 2x 5

x

x

x

2

2

x

x

Следовательно,

предел

2x 1 3x

представляет

неопределенность

lim

x 2x 5

6

3x

2x 1

3x

2x 1

3x

6

2x 5

2x 5

1

6

9

lim

lim

1

1

lim 1

е

,

е

9

x

2x 5

2x 5

2x 5

x

x

lim

6 3x

lim

18x

lim

18

9.

5

5

x 2x 5

x

x

2

x

2

x

x

3

Пример 4.8. Найти lim cosx

2x2

.

x 0

Решение. Имеем неопределенность вида 1 . Тогда

3

2

x

3

2

2x

2

2

2

lim cos x 2x

1 lim1

cos x

1

2x

lim 1 2sin

x 0

x 0

x 0

2

2sin

2 x

3

1

2

x

x

2

3

2

2sin

2

x

4

lim

1 2sin

2

e

,

x 0

2

так как

2

x

2

x

2sin

3

0

sin

3

3

lim

2

lim

2

.

2x2

0

2

4

4

x 0

x 0 x

2

Логарифмируя по основанию 10 тождество x eln x получим

lgx lnx M ,

(4.10)

где M lge

1

0,434294...

ln10

Равенство

(4.10) можно переписать в виде: ln x lgx M1 , где

M1

ln(1 x)

1

1

lim

limln(1 x)

x

ln(lim(1 x)

x

) lne 1.

x 0 x

x 0

x 0

ax 1 α x .

(4.11)

Логарифмируя полученное равенство, получим

xlna ln 1 (х)

или x

ln 1 (х)

.

(4.12)

lna

С учетом (4.11) и (4.12) искомый предел запишем в виде

ax

1

x lna

lna lim

x

lna.

lim

lim

x 0 x

x 0 ln 1 (х)

x 0 ln 1 (х)

(1 x)m

1

где m const.

3.

lim

m,

x

x 0

Доказательство. Аналогично п.2 имеем

(1 x)m 1 α x ,

(4.13)

где α x 0

при x 0.

Отсюда

(1 x)m 1 α x и, логарифмируя обе части равенства, получим

mln(1 x) ln 1 (х)

или

mln(1 x)

1.

(4.14)

ln 1 (х)

С учетом (4.13) и (4.14) искомый предел можно записать в виде

lim

(1 x)m 1

lim

x

mln(1 x)

lim

ln(1 x)

x

m m.

x

x

ln 1 (х)

x

ln 1 (х)

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

1.

15

2x 1 1 2

15 2x 1 1

lim

lim2

2;

x

2x

x 0

2

x 0

2.

ex e x

e2x 1

e2x 1 x

2

lne 1 2 2 .

lim

lim

lim

sinx

sin x

ex

x 0

x 0 ex sin x

x 0 2x

lim

x

K.

x x0

x

Если K 0, то говорят, что α x

– бесконечно малая высшего порядка

по сравнению с β x . Если

K const

и K 0,

то α x и β x называются

sin (x)~ (x);

a (x) 1~ (x)lna;

tg (x) ~ (x);

e (x) 1~ (x);

arcsin (x)~ (x);

ln 1 (x) ~ (x);

arctg (x) ~ (x);

(1 (x))m 1~ (x)m (m const ).

Рассмотрим некоторые теоремы об эквивалентных бесконечно малых

функциях.

α x ~ α1 x , β x ~β1 x при x x0 и существует

Теорема 1. Если

предел отношения эквивалентных бесконечно малых функций α1 x

и β1 x

lim

x

lim

1 x

.

x x0 x

x x0

x

1

lim

α x

lim

α x

lim

β1 x

lim

α1 x

lim

α1

x

.

x

x x0 β x

x x0 α

x x0 β x

x x0 β x

x x0 β x

1

1

1

Итак,

α x

α1 x

lim

lim

.

x x0 β x

x x0 β1 x

1 cosx

1

1 cosx

1 cosx ~

x2

lim

или

lim