Материал: 1715

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

пройденные на участках пути Si = ϑ (ti ) ∆ti , где ∆ti					= ti − ti −1 −
прохождения i-го участка пути [ti−1,ti ], i = 1,2, , n .					Весь путь
равен				t2
S = lim	Sn =		n
		lim	∑ϑ (ti )∆ti = ∫		ϑ (t)dt .
max ∆ti →0		max ∆ti →0 i =1		t
n→∞		n→∞		1

Координаты центра тяжести плоской фигуры

время

будет

Пусть дана плоская фигура (материальная пластинка) (рис. 2.14), ограниченная кривой y = f (x) ( f (x) ≥ 0 на отрезке [a b;]) и прямыми

х=а; x=b; y=0. Полагая, что поверхностная плотность пластинки

постоянна γ = const	(кг/м2), получим, что масса всей пластинки (кг)
равна m =γ S , где	S			b		И	γ − плотность
равна m =γ S , где	S	− площадь			пластинки, м2;		γ − плотность
пластинки, отнесенная		к единице площади					(поверхностная
					Д
плотность). Толщина пластинки настолько мала, что ей можно
пренебречь. Таким образом,			А
		m = γ		∫	f (x)dx .		(2.35)
		б		a
				a
	и
С

Рис. 2.14. Координаты центра тяжести плоской фигуры

Статическим моментом Sx ( Sy ) системы материальных точек относительно оси Ox (Oy) называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (абсциссы). Статические моменты Sx , Sy вычисляются по формулам

∫ y2dx ; Sy = γ ∫ xydx.

(2.36)

Если точка С (хс , ус )

−

центр

тяжести плоской

фигуры

(пластинки), то его координаты вычисляются по формулам

xydx

∫

;

(2.37)

γ ∫

ydx

∫ ydx

y2dx

∫

(2.38)

ydx

∫

Сила давления жидкости

Основной

закон

гидростатики

[закон Паскаля (Б. Паскаль

(1623−1662) −

французский

ученый)]

заключаетсяИ

в том, что

давление, производимое внешними силами на поверхность жидкости,
передается одинаково по всем направлениямД				. Давление – это
нормальная сила, приходящаяся на единицу площади.
	и					F
Известно, что давлен е определяетсяА			по формуле		P =		, где F −

сила, Н; S	С	2				S
	− площадь,		давление и напор связаны
		бм . Кроме того,
выражением	P = ρ g h,	где ρ − плотность, кг/м3;			g – ускорение

2
свободного падения, м/с ; h – глубина погружения тела от свободной
поверхности жидкости (плоскость сравнения), м.
Тогда сила, действующая на поверхность площадью S ,
определяется по формуле
F = P S = ρ g h S .	(2.39)
(Если ρ измеряется в кг/м3, g – в м/с2, h – в, м, S	– в м2, то

1 (кг/м3)·(м/с2)·м·м2=1 кг·(м/с2) = 1Н.)

Однако по этой формуле нельзя искать силу, возникающую от давления жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикальная пластина, ограниченная линиями х=a; x=b; y1 = f1 (x); y2 = f2 (x) (рис. 2.15).

Для нахождения силы, возникающей от давления Р жидкости на эту пластину, применим метод дифференцирования:

1. Пусть	р = р (х)	− давление на	часть пластины,
соответствующее отрезку		[а; х] значений	переменной х, где

x [a;b](p (a) = 0; p (b) = P).

					И
				Д
			А
Рис. 2.15. Схема для определения давления
	б
жидкости на вертикальную пластину
и										p(x)
2. Зададим аргументу		х	приращение		∆	х	=	dx . Функция		p(x)
получит приращен е	∆ p	(р с. 2.15). Найдем						дифференциал		dp
С									будем
(давление на малом участке) этой функции. Ввиду малости dx									будем

приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине, то есть эта пластинка – горизонтальная.

Тогда по формуле (2.39)
		dF = P dS = ρ g x ( y2 − y1 ) dx.		(2.40)
		h
		dS
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х=a до x=b,
получим
b	( y2	b	f1 ) x dx .
F = ρ g ∫	( y2	− y1 ) x dx или F = ρ g ∫ ( f2 −	f1 ) x dx .	(2.41)
a		a

Примеры решения задач

Задача 1. Скорость тела меняется согласно выражению ϑ = 0,03 t2 (мс). Какой путь пройдет тело за 10 с начала движения?

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой (2.34). В

нашем случае ϑ(t) = 0,03t2 ; t = 0;

= 10. Следовательно,

t2+1

0,03t2dt = 0,03

= 0,01 103 = 10м .

S = ∫

= 0,03

2 +1

Задача 2.

Для растяжения

пружины

на 1 м необходимо

совершить работу 5 Дж (Н·м). На какую длину нужно растянуть пружину, чтобы совершить работу в 15 Дж?

Решение: Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. F(x) = k x, где k – коэффициент пропорциональности (жесткость пружины, Н/м). Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать значение этого

коэффициента. Для его нахождения воспользуемся формулой (2.21).
По условию задачи a = 0; b = 1; A = 5, следовательноИ,
1		kx2	1	10 = 1k k = 10 Н/м .

5 = ∫ k x dx 5 =
0	б			Д
		2	0
Таким образом, F(x) = 10x .				Чтобы найти	длину, на которую
	и
можно растянуть	пруж ну, совершивАработу				в 15 Дж, мы также

воспользуемся упомянутой выше формулой, в которой нам теперь неизвестен параметр b. То есть

b	10x2	b	30 = 10b2 3 = b2 b =


15 = ∫10xdx 15 =				3 ≈ 1,73.
	2	0
0
Следовательно, пружину нужно растянуть примерно на 1,73 м.
ПроиллюстрируемСситуацию, описанную в задаче				графически

(рис. 2.16, 2.17).

Рис. 2.16. Пружины в состоянии покоя: а − растяжения; б − сжатия

На рис. 2.16 показаны пружины растяжения и сжатия в состоянии покоя. В случае если пружина предварительно не растянута, то при ее деформации сила F , растягивающая пружину, определяется по формуле F = k x .

На плоскости (см. рис. 2.17) этому выражению соответствует

уравнение прямой	y = k x	(в нашем	примере k = 10,
соответствующая прямая y = 10x		изображена	на рис. 2.17). Так,

например, по графику (см. рис. 2.17) видно, что при растяжении пружины с жесткостью в 10 Н/м (k = 10) на 1 м (x = 1) сила пружины составит 10 Н (F = 10). Свойство растяжения пружины может быть использовано при изготовлении эспандера для развития мышц рук.

F, H

y=kx+b

Иy=kx

0,5

x, м

Рис. 2.17. Характеристики пружины

В случае предварительного растяжения пружины по ее оси

действует силаСF = k x + b , где b

− величина

предварительного

растяжения пружины; k − жесткость пружины, Н/м. На графике данному выражению функции F соответствует прямая y = k x + b,

расположенная параллельно прямой y = k x (в нашем примере это прямая y = 10x + 5, см. рис. 2.17).

Жесткость пружины k − это величина, показывающая, какое усилие в Н нужно приложить к ней для ее растяжения (сжатия) (в нашем примере для растяжения на 1 м). Обычно жесткость имеет единицу величины в Н/мм. У пружин форсунок автомобильных дизелей жесткость лежит в пределах 200 ÷ 300 Н/мм.

Источник: https://studfile.net/preview/16407772/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
«Методы учета затрат на производство продукции, работ, услуг»Курсовая работа