Материал: 1715

1

Рис. 2.18. Форсунка:

– сопловые отверстия;

2

– игла;

3

– корпус распылителя;

4

– гайка распылителя;

5

– корпус;

6

– шток;

7

И

– опорная шайба;

8

– пружина;

9

– регулировочный винт;

10

– контргайка;

11

– колпак;

А

12

– сетчатый фильтр;

13

– уплотнитель;

б

14

– штуцер;

15Д− канал

и

6

2

С

Задача 3.

В процессе расширения газа объем цилиндра

увеличился с 0,1 до 0,2 м3. При этом давление в цилиндре

уменьшилось с 3 до 1 МПа (1 МПа=1 10

Н/м ). Вычислить работу

найдена

путем

непосредственного

сложения

площадей

прямоугольного треугольника S1 и прямоугольника S2

(для

соблюдения

единицы

величины

считаем

Р1 = 3·106 Н/м2;

Р2 = 1·106 Н/м2):

= 1

(3 106 −1 106 ) (0,2 − 0,1)+1 106 0,1 =

A = S

= S +

S

2

1

2

этого нам необходимо знать функцию

P = P(V ), задающую

зависимость давления Р от объема V. Так как Р и V по условию задачи

связаны линейно, найдем уравнение соответствующейИ

прямой,

соединяющей

точки с координатами

(0,1; 3 106 ) и

(0,2;1 106 ) по

б

формуле уравнения прямой, проходящейДчерез две заданные точки:

V − 0,1

=

P − 3 106

. С

помощью

несложных

преобразований

0,2 − 0,1

1 106 − 3 106

А

приходим к уравнен ю P = (5 − 20 V ) 106 . Тогда по формуле (2.25)

работа расширения газа будет равна

0,2

и

V 2

0,2

A = ∫(5

− 20 V ) 10

6

dV

=10

6

=

5 V − 20

0,1

2

0,1

С

=106 [(5 0,2 − 0,4)− (5 0,1 − 0,1)]= (0,6 − 0,4) 106 = 2 105 (Н·м или Дж).

Задача 4.

Найти

силу, возникающую

от

давления

бензина,

находящегося в цилиндрическом баке высотой

h = 4 м и радиусом

r = 2м

( ρ = 900кг/м3),

на стенки бака

на

каждом

метре

глубины

h Sбоковой

поверхности

Следовательно,

2

F = ρ g 2 π

h

x dx = 9,8

900 2 π 2

h

= 17640π h2 .

r ∫

0

2

И

x

Д

h

dx

А

Y

б

O

и

С

Р с. 2.20. Цилиндрический бак

2

2

Так как в условии

задачи

речь идет о нахождении силы,

F1 =17640π h1

=17640π 1

=17,64π (кН);

F

=17640π h2

=17640π 22

= 70,56π (кН);

2

2

F =17640π h2

=17640π 32

=158,76π (кН);

3

3

1.

Интегралы

с

бесконечными пределами.

Пусть

функция

y = f (x)

определена

и

непрерывна

при

x [a,+∞).

Тогда

И

несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом

определяется следующим образом:

b

+∞

(x)dx

= lim

f (x)dx .

(2.42)

∫

f

∫

a

b→+∞ a

А

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл

называется сходящимся, в противном случае − расходящимся.

б

Днесобственный

Аналогично

определяются

интеграл

с

бесконечным нижним пределом:

b

f

(x)dx

= lim

b

f (x)dx

(2.43)

∫

∫

−∞

a→−∞ a

и несобственный

нтеграл с двумя бесконечными пределами:

+∞

c

lim

b

f (x)dx ,

(2.44)

∫

f (иx)dx = lim ∫ f (x)dx +

∫

−∞

a→−∞ a

b→+∞c

где c − произвольное действительное число.

2.

ИнтегралыСот разрывных функций.

Пусть функция

y = f (x)

определена и непрерывна при x [a,b],

кроме точки c,

в которой

функция

f (x) имеет

бесконечный

разрыв.

Тогда

несобственный

Найти

следующие

несобственные интегралы: 1)

+∞ dx

;

∫

x2

+∞

dx

4

dx

9

dx

1

2)

; 3)

; 4)

.

∫

∫

∫

−∞ 1+ x2

0

x x

0

3

(x −1)2

+∞ dx

b dx

1 b

1

= 1.

∫

x

2 =

lim ∫

x

2 =

lim −

=

lim

−

b

+1

1

b→+∞ 1

b→+∞

x 1

b→+∞

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

2) На основании (2.44) получаем

+∞

dx

= lim

0

dx

+ lim

b

dx

И

∫

∫

1+ x2

∫

1

+ x2

=

−∞ 1+ x2

a→−∞ a

b→+∞ 0

0

b

π

π

= lim

Д

+

= π.

[arctgx]a+ lim [arctgx]0

= − −

2

2

a

→−∞

b→+∞

1) Подынтегральная

функция

f (x)

1

имеет

бесконечный

=

x

x

б

разрыв в точке x = 0. По формуле (2.45) имеем

4

dx

4

dx

2

4

2

∫

=

lim

∫

= lim

−

= lim

−1+

= +∞,

x x

0 x x

ε →+0

ε

Аx ε

ε →+0

ε

ε →+0

т.е. данный несобственный

нтеграл расходится.

1

4) В данном случае подынтегральная функция

f (x) =

и

3 (x −

1)

2

претерпевает

разрыв в

точке

x = 1,

лежащей

внутри отрезка

интегрирования. Используя определение, имеем

dx

dx

dx

9

С1−ε

9

[33

]10−ε +

∫

=

lim

∫

+ lim

∫

=

lim

x −1

3 (x −

1)2

0 3 (x −1)

2

ε

→+0

0

η →+0

1+η 3 (x −1)2

ε →+0

+

lim [33

]19+η =

3 lim

(3

− 3

)+

3 lim (3

− 3

)= 9,

x −1

− ε

−

1

8

η

η →+0

ε →+0

η →+0