Материал: 1715

Варианты ответа: 1)

3

+

4

; 2)

+

4

; 3)

3

+

4 3

;

x

x

3

3

2

x

3

x

3

x

2 x

3

а) ∫ 3sin xdx ;

б)

∫ sin

x

dx ;

в)

∫ sin 3xdx ;

г)

∫

sin x

dx

3

3

и соответствующей совокупностью первообразных ….

1) −

1 cos3x + C ;

2) − 1 cos

x

+ C ;

3) −

1 cos x + C ;

3

3

3

3

4) − 3cos3x + C ;

5) − 3cos

x

+ C ;

6) − 3cos x + C .

3

Задание 13. (Выберите один вариант ответа)

x3dx

И

Интеграл

∫

равен …

Д

9 − x4

x2

1) − 1

+ С ;

2) arcsin

Варианты

ответа:

9 − х4

+ C ;

2

3

3) − 1 arcsin

x2

А

+ C ;

4) 2

9 − x4

+ C .

4

3

б

Задание 14. (Выбер те од н вариант ответа)

dx

и

Интеграл ∫

можно представить в виде суммы …

5x − x2

С

dx

dx

dx

dx

Варианты

ответа:

1)

∫

+ ∫

;

2)

∫

−

∫

;

5x

5(5 − x)

5x

x2

3) ∫ dx −

dx

4) ∫ dx

dx

∫

;

+

∫

.

5 − x

5 − x

x

x

Задание 15. (Выберите один вариант ответа)

Неопределённый интеграл ∫ ln xdx равен …

Варианты

ответа:

1)

x ln x − x + C ; 2)

xln x + x + C ;

В

интеграле вида

∫ (4x3 + 2x2 − x)cos5x dx

сколько

раз

необходимо повторить операцию интегрирования по частям?

Вариант ответа: ____________________.

Задание 17. (Выберите один вариант ответа)

Формула Ньютона−Лейбница справедлива при условии …

Варианты ответа:

1)

F (x) = f (x);

2)

F(x)

− непрерывна на

[a;b] и F (x) = f (x); 3) f (x)

′

и F (x) = f (x) .

− непрерывна на [a;b]

′

′

Задание 18. (Выберите несколько вариантов ответа)

Выберите верные утверждения…

Варианты

ответа:

1)

если

f (x)

−

четная

функция,

то

a

a

a

∫

f (x)dx = 2∫

f (x)dx ; 2) если

f (x) − четная функция, то

∫ f (x)dx =

0 ;

−a

0

a

И

a

−a

3)

если

f (x)

−

нечетная функция, то ∫

f (x)dx = 2

∫ f (x)dx ; 4)

если

−a

0

a

Д

f (x) − нечетная функция, то

∫

f (x)dx = 0 .

А

−a

Задание 19. (Выберите один вариант ответа)

Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна …

б

и

С

Варианты ответа: 1) 2π ; 2) 8π ; 3) 4π ; 4) 16π .

Задание 20. (Выберите ответы согласно тексту задания)

Установите соответствие между криволинейной трапецией

а

б

Y

Y

y1=f1(x)

y=f(x)

О a

b

X

О

x=a

x=b

в

Y

x=a

x=b X

Варианты

ответа: 1)

b

2) S

b

( f2 (x) − f1(x))dx;

S = ∫

f (x)dx;

= ∫

b

b

a

a

3) S = −∫ f (x)dx

; 4) S =

∫ ( f1(x) − f2 (x))dx.

a

a

Задания творческого уровня

Д

0, m ≠ n;

Задание 1.

Доказать,

что

π

sin mx

∫

sin nxdx =

(m и n – целые положительные числа).

−π

И

π ,m = n.

Задание 2.

Найти

б

кривой,

которая

проходит через

уравнение

точку A(1,π / 4)

, для которой угловой коэффициент касательной в

и

.А

каждой её точке равен

1

С

1− x

y = f (x) изображен на рисунке.

Задание 3. Граф к функц

1

y=f(x)

0

1

2

3

4

5

6

X

y=f(x)

2

1

0

1

2

3

4

5

6

t

Д

Найти путь, пройденный точкой в течение промежутка времени

от t1 = 2 ч до t2 = 6 ч.

Задание 5. Найти определенный интегралИ, выражающий площадь

треугольника с вершинами (0;0), (3;15), (0;15).

96

Задание 6. Известно, что функция

f (x)=

непрерывна на

(4 − 3x)3

отрезке [0; a].

и

Найдите значениеАа, если определенный интеграл

a∫

f (x)dx =15.

С

б

0

Задание 7.

Найдите

число

корней

уравнения

∫x (8t3 − 27t2 − 22t + 30)dt ,

принадлежащих промежутку [1; 6]. Назовите

0

эти корни.

Задание 8.

Найдите

количество

целых

решений

неравенства

∫x (18t2 +10t − 6)dt > 0.

0

Задание 9.

Найдите

число

корней

уравнения

x

π

π

(sin 2t − 3cos2t)dt =1, принадлежащих промежутку

;

∫

−

2

.

0

2

Расчетно-графическая работа

Вариант 1

1. Проинтегрировать:

1)

∫

dx

;

∫ ex2 +4x −5 (x + 2)dx ;

∫

2sin xdx

.

6x + 5

3 1+ cos x

2)

∫ (2x − 4)cos 7xdx ; ∫ x3 ln xdx ;

∫ (x2 − 3x)sin xdx .

3)

∫

dx

;

∫

(x −1)dx

;

∫

x + 5

dx .

x

2

+ 4x − 32

4x2 +

4x

− 9

− x2 +10x −

21

x4

− 3x3 + 2x +1

4)

∫

xdx

;

∫

(x + 3)dx

;

∫

(2x + 9)dx

;

∫

dx.

(x − 2)(x +

3)

(x −1)(x

2

−

1)

(x

2

+ 4)(x

− 5)

x2 + 2x + 3

5)

∫sin5x cos3xdx ;

∫

dx

;

∫

cos

3 xdx

;

∫ cos4

4xdx .

13 +

5cos x

2

dx

sin

x + sin x

dx

6) ∫

;

dx

;

5 − x

;

∫

∫

∫

4 − x2

dx .

5 + x

(5

2

x + 3 x2

3

(2x + 3)2 − 2x +1

+ x)

2. Вычислить определенные интегралы:

И

1

x2dx

1

x

0

dx

∫

;

∫

(x −1) 3

dxД;

.

3

0 1

+ x

0

−3 x

+ 6x +18

3.

Вычислить

несобственный интеграл (или установить его

расходимость):

А

+∞

dx

б

и

∫0

x2 + 4 .

4. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) y = −x2 + 9

;

y = 0;

б) r = cos 2ϕС.

скоростью ϑ0

без учета сопротивления воздуха, дается формулой

ϑ = ϑ0 − g t ,

где t – время, прошедшее от начала движения; g –