Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Т е о р е м а. Двойной интеграл по правильной области D от

функции	f x, y равен повторному интегралу по этой области от
этой же функции, т.е.		2 x		2 y
	b		d
f x, y dxdy dx f x, y dy dy				f x, y dx.
D	a	1 x	c	1 y

Д о к а з а т е л ь с т в о Следует из геометрического смысла двойного и повторного

интегралов.

Пример.

Вычислить xydxdy по области (рис. 1)

Первый способ: представим область D, в виде

0 x 1; D: 0 y x2;

1 x 2;

0 y 1;

y 1

					0		x	1		x 2			x
									Рис. 1
										1		x2	2	1
xydxdy				,		т.е. xydxdy xdy ydx xdy ydx
D		D1		D2			D			0		0	1	0
1	x5		1	2	1		3	10		5
		dx		xdx							.
	2	dx	2	xdx	12		4	12		6	.
0				1

Второй способ: представим область D, как единую (рис.2)

0 y 1;

y x 2.

y x2

								M				y
	y							M

															x


	0					1				2


					Рис. 2
				1			2				1		x2				2
xydxdy ydy							xdx y												dx
xydxdy ydy							xdx y							2					dx
D				0							0
								y
								y										y
1			y						y3		1			5
			y						y3					5
y		2		dy y2												.
y		2	2	dy y2					6							.
0			2						6		0			6

Зададим f x, y dxdy и сделаем замену его переменных по

формуле

x u,v ;

y u,v .

(1)

Составим по формуле (1) определитель 2-го порядка, который называется Якобианом замены переменных:


x	x
u	v	.
y	y
u	v

(2)

Т е о р е м а. Если 0 в области D, то имеет место формула

f x, y dxdy f u,v , u,v dudv.

D	D*
(3)
Пример.

Вычислить x y 3 x y 2 dxdy по области ABCD (рис.3).

1 C

Рис. 3

x y 1;	AB
	CD
x y 3;	CD
	AD
x y 1;	AD
	BC
x y 1;	BC

0 x 1;

1 x y x 1;

1 x 2;

x 1 y 3 x.

Сделаем замену переменных, положив:

x y u;	x	1	u v ;		1		1
	x		u v ;
		2			2		2			1	.
										1

x y v;	y	1	u v ;			1		1	2
x y v;	y	2	u v ;		2				2
		2			2		2
В результате замены, получим область D* (рис.4)
	u 1;
				1 u 3;
	u 3;			1 u 3;
	D*:
	v 1;			1 v 1.

v 1;

y
1				x
1

0	1			3
1
1		Рис. 4
		Рис. 4
x y 3	x y 2		dxdy u3v2		1	dudx
					1
					2
D			D*

1 u3du v2dv 20.

Двойной интеграл в полярных координатах (рис. 5).

Рис. 5

def

M OM xi yi M x, y .

M x, y – декартовы координаты точки

M ;

–

M ,

полярный радиус; OM OX

–

полярный

угол;

–

полярные координаты точки M .

0; 0 2 .

Формулы перехода:

x cos ;

;

y sin ;

(4)

В f x, y dxdy сделаем замену переменных по формуле (4):

x cos ;

sin

cos

y sin ;

cos

sin

xydxdy f cos , sin d d

(5)

где D* – область D в полярных координатах.

Формула (5) называется формулой перехода к полярным

координатам.
Пример.
Вычислить							x2 y2
Вычислить			1 x2 y2		dxdy по области D:		x2 y2	1.
		D
а)	y				б)	y
D

	0
	0
1			1	x			0	x
							0

Рис. 6

Область D рассмотрим в виде (рис. 6, а))

D:	1 x 1;


	1 x2 y 1 x2 .

Перейдем к полярным координатам (рис 6, б))

0 2 ;

0 1.

Воспользуемся формулой (5):

1 x2 y2 dxdy 1 2 cos2 2 sin2 d d

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры