Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2	1					3		1
2	1					3
d					1 2	2			2 2 2 1
		1	2	d 2	1 2	2			2 2 2 1	3,83.
		1		d 2	3				3	3,83.
0	0						0

Лекция № 11. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

1. Вычисление объемов и площадей.

Решение этих задач основано на геометрическом смысле двойного интеграла (рис. 1).

z f x, y

x D

Рис. 1

Vц.т f x, y dxdy.

(1)

Если положить f x, y 1, получим цилиндр высотой, равной 1, а его объем численно равен площади области D (рис. 2).

0 x

Рис. 2

SD dxdy .

(2)

Если в формуле (2) перейти к полярным координатам (рис. 3), получим формулу для вычисления площади в полярных координатах:

	1
0	x
Рис. 3

SD d d .

(3)

;

D*:

1 2 .

SD dx d .

Примеры.

1. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром

x2 y2	1, плоскостью z 0,			x y z 3(рис. 4, а), б)).
	а)		z	б)	y	D
	а)		z	б)	1	D
			z 3 x y			x
			z 3 x y		0	1
				1	0	1
					1
			0	в)	z
					z

				3		y
				3
				y
	x	3	D	y	0	x
			D			x
				Рис. 4
				Рис. 4

0 2 ;

D*:

0 1.

V 3 x y dxdy 3 sin cos d d

2 1

d 3 2 sin 2 cos d 3 .

0 0

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y sin x; y cos x; x 0 (рис. 5).

y	D				sin x
	D				sin x
0					x
	4			cosx
		Рис. 5

					;
			4
D*: 0 x			4

	sin x y cosx.
4 cos x	4

SD dxdy dx dy cosx sin x dx 2 1 0,41.

0 sin x

2. Площадь поверхности.

Рассмотрим кусок простой (две разные точки поверхности не должны проецироваться в одну точку плоскости z 0) поверхности z f x, y , ограниченный замкнутой кривой. Спроецировав его на плоскость z 0, имеем плоскую область D0

(рис.6).

z f x, y

iMi

0		y
	Pi	y
x	Pi
	D
	Рис. 6
Разобьем область D на	n участков	с площадями	Si и
диаметром di , d maxdi и	выберем на	любом участке	точку

Pi xi, yi . Этой процедуре будет соответствовать разбиение куска поверхности на участки с площадями i и фиксированными точками Mi xi, yi,zi , т.е. ПрOxy i Si ; ПрOxyMi Pi .

Очевидно, что площадь куска поверхности i . За

i 1

приближенное значение i возьмем площадь куска касательной

плоскости	в	точке	Mi	к	поверхности	z f x, y ,
проецирующегося в Si			области D0.
Пусть i	– касательная плоскость к поверхности в точке Mi .

Ni i – нормальный вектор (рис. 7).

;

Рис. 7

для поверхности z f x, y f x, y z 0 или F 0.

P ;

;

;1 , k

0;0;1 .

Ni k

Пусть i

xoy Ni

k cos i

;

cos i

Пусть ПрOxy i* Si Si

i *cos i ;

cos i

Итак, имеем приближенное значение площади к поверхности:

i 1

Переходя к пределу, имеем формулы для вычисления площади поверхности (рис.8).

lim

i 1

d 0

	f	2	f	2
1				dxdy.
1				dxdy.

	x		y

Рис. 8


	f 2	f 2	dxdy

	1			.
D	x	y
D

(4)

Пример.

Вычислить площадь поверхности параболоида вращения z x2 y2 , отсекаемой плоскостью z 1 (рис. 9).

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры