Материал: 2216

y

Pi xi,yi

Рис. 1

Решение.

x, y – функция, задающая плотность.

1) Разобьем пластину D на n произвольных частей (участков) с площадями S1, S2, , Sn и диаметрами d1,d2, ,dn.

З а м е ч а н и е. Диаметром называется расстояние между двумя наиболее удаленными точками области.

Пусть d maxdi .

2) На любом участке выберем произвольную точку, имеем n точек Pi xi, yi . Считая любой участок однородным с плотностью, равной плотности в точке Pi , найдем приближенное значение массы пластины:

n

M P1 S1 P2 S2 Pn Sn xi, yi Si.

n

M lim xi, yi Si .

n

d 0 i 1

(1)

Задача № 2. Определить объем жидкости, протекающей за единицу времени через сечение трубы D, если известна скорость течения x, y в любой точке сечения (рис.2).

y

(2)

Задача № 3. Определить массу пространственного тела, если известно распределение плотности в нем (рис. 3).

n

M xi , yi,zi i .

i 1

n

M lim xi, yi ,zi i .

n

d 0 i 1

(3)

Вывод. При решении рассмотренных задач мы приходим к необходимости вычислять пределы.

Пределы (1) и (2) называются двойными интегралами.

Предел (3) называется тройным интегралом.

Определение двойного интеграла

Зададим на плоскости Oxy замкнутую ограниченную область D и функцию z f x, y , определенную в любых точках области.

Определение. Область вместе со своей границей называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует прямоугольник конечных размеров, вмещающий эту область.

Проделаем следующие операции (рис. 4):

d maxdi – называется параметром разбиения.

2) На любом участке выберем точку. Имеем n точек Pi xi, yi . Составим сумму (интегральную):

разбиения области D на участки, ни от вектора точек Pi , то он называется двойным интегралом.

def : f x, y ds или f x, y dxdy.

то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от