Материал: 2216

т.к. V V2 V2 20.

30. Т е о р е м а о среднем:

f x, y dxdy f , SD ,

D

где существует точка , D. То есть объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с площадью основания SD и высотой

f , .

Повторные интегралы по правильным областям и их свойства

Определение. Плоская область D называется правильной в направлении оси Oy, если она ограничена прямыми x a x b и кривыми y 1 x и y 2 x (рис. 7).

Координаты любой точки области D удовлетворяют неравенствам:

Рис. 7

Определение. Повторным интегралом по правильной в направлении оси Oy области D от функции f x, y называется

число, полученное следующим двукратным интегрированием:

при интегрировании в скобках x считается const.

Пример.

Вычислить повторный интеграл по области (рис. 8)

кривыми x 1 y , x 2 y (рис. 9).

Координаты любой точки области D удовлетворяющие неравенствам:

c y d;

1 y x 2 y .

y

x 1 y

d

x 2 y

M y

c

D

Рис. 9

Определение. Повторным интегралом по правильной в

при интегрировании в скобках y считается const.

Пример.

Вычислить повторный интеграл по области (рис. 10)

З а м е ч а н и е. Области, правильные в обоих направлениях, называются просто правильными (рис. 11).

y

d

c 1 y

Геометрически правильные области обладают тем свойством, что прямые параллельны Ox и Oy, пересекают границу области не более чем в двух точках (рис. 12, а), б)).

D

D

Рис. 12

Свойства повторных интегралов

10 . Геометрический смысл повторного интеграла. Повторный интеграл по правильной в каком-либо

направлении области D от функции f x, y равен объему цилиндра, ограниченного снизу областью D, сверху поверхностью z f x, y , а по бокам прямыми, параллельными оси Oz (рис. 13).

Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть область D правильная в направлении Oy.

Построим цилиндрическое тело, указанное в определении свойства 10 , и возьмем x a,b .