Материал: 2216

Проделаем следующие операции:

1. Разбиваем область

V на n участков объемами i

и

диаметрами di , d maxdi

примем за параметр разбиения.

2. На любых участке выбираем произвольную точку Pi xi, yi

и составляем интегральную сумму:

def

n

n

i

i

i

i

f x, y,z dxdydz

lim

f x

, y

,z

V

d 0

i 1

(1)

def : f x, y,z d

или f x, y,z dxdydz.

V

V

a x b;

x y

x ;

2

1

x, y z

x, y .

1

2

z

z2 2 x, y

z1 1 x, y

0

y

a

x

b

y 2 x

x

y 1 x

b

2 x 2 x

f x, y,z dxdydz dx

dy

f x, y,z dz.

V

a

1 x

1 x

(2)

Без доказательства.

Пример.

Вычислить f x, y,z dxdydz,

где

V

– область,

V

ограниченная цилиндром y x2

и плоскостью

z 0,

y z 1 0,

y z 1 (рис.3, а), б), в)).

1

1 1 y

V

1 x2

0

z

б)

y

а)

1

1

0

1

x

в)

z

0

y

y

x

Рис. 3

0

x

1

1

z

2

1 y

1

1

2

1 y

2

2

dx

dy

xyz

dx

xy 1 y

dy

1

x2

0

1

1

x2

1 x

1

1 y

3

y

2

y

3

1

x

2

3

x

5

x

7

x

x

x

dx

dx

6

2

3

6

2

3

2

2 3

1

x

1

1 x

1

x2

x

4

x6

x5

x7

x2

x

x3

x5

x

7

dx

6 6 2

2

6

2

3

12 6 6 10 42

1

x8 1

x6

2 2 2

2

16

0,15.

12

24

1

6 6 10 42 105

Замена переменных в тройном интеграле.

Рассмотрим

f x, y,z dxdydz

и

сделаем

замену

x

x

x

y

y

y

.

z

z

z

(4)

Т е о р е м а. Если в области V Якобиан 0, то имеет место

следующая формула замены переменных:

f x,y,z dxdydz f * , ,

d d d ,

V

V*

(5)

где V * – область V в новых координатах; f *

– функция f

с

учетом формул (3). Без доказательства.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

z

M

k

0

j

z

i

y

x

P

Рис. 4

def

M OM xi y j zk M x, y,z .

Пусть ПрOxyM P,

M , ,z

OP

;

OPOx ;

–

цилиндрические координаты;

0;

0 2 ;

z (рис.

4).

Формулы перехода:

x

x

x

z

cos

sin

0

y

y

y

sin

cos

0

0.

z

0

0

1

z

z

z

z

f x, y,z dxdydz f * , ,z d d dz

.

(7)

V

V*

Пример.

Вычислить тройной интеграл x2 y2 dxdydz;V –

часть

цилиндра x2 y2

V

1,

ограниченного плоскостями z 0,

z 1.

z

б)

а)

y

1

D

V

x

0

1

0

1

1

y