Материал: 2216

V

V*

1

2

1

1

4

3 d d dz d

3 d dz 2

.

4

V*

0

0

0

0

2

i

y

x

P

Рис. 6

M x, y,z – декартовы координаты.

Пусть ПрOxyM P,

OM

R; OPOX ;

OM OZ .

M R, , – сферические

R 0;

координаты (рис. 6).

0 2 ;

0 , т.е.

всегда

рассматривается

в полуплоскости

OZ,M .

Формулы перехода:

Так как

OP

OM

cos

Rsin , и

пользуясь

2

sin cos

Rcos cos

Rsin sin

sin sin

Rcos sin

Rsin cos

cos

Rsin

0

cos cos

sin sin

R2 cos

cos sin

sin cos

sin

sin cos

sin sin

sin sin

sin cos

V

V*

(9)

Пример.

z dxdydz, где

Вычислить

– шаровой

сектор,

V

ограниченный сферой x2 y2 z2 1

и конусом x2 y2

z2

0.

Образующая конуса составляет с осью Oz углы в

(рис.7).

4

0

y

x

Рис. 7

Так

как

x 0;

y z

–

биссектриса

2 z2

x2 y

0;

*: 0

;

4

V

V*

1

1

4

2

R4

1

2 cos2

R3dR sin cos d d

0

4

4

4

0

0

0

0

cos

cos0

.

8

2

8

x x, y,z dxdydz

V

xc

;

x, y,z dxdydz

V

y x, y,z dxdydz

V

y

;

c

x, y,z dxdydz

V

zc

.

x, y,z dxdydz

V

y2 x, y,z dxdydz;

JOx x2

V

x2

z2 x, y,z dxdydz;

JOy

V

y

2

x

2

x, y,z dxdydz.

JOz

( x, y,z const), ограниченного плоскостями x 1;

y 1;

z 0;

y z 2 0 (рис. 8).

2

y

1

C

1

4

7

;

;

1

2

9

9

x

Рис. 8

0 x 1;

0 y 1;

V

0 z 2 y.

dxdydz VD1

3

.

2

V

y2 1

1

1

2 y

1

1

1

3

xdxdydz xdx dy dz

2 y dy

2y

;

4

V

0

0

0

2

0

2

2

0

1

1

2 y

1

1

y3 1

2

ydxdydz dx ydy dz

y 2 y dy y2

;

2

3

V

0

0

0

0

3

0

1

1

2 y

1

1

2 y 2

2 y 3 1

7

zdxdydz dx dy zdz

dy

;

2

6

6

V

0

0

0

2

0

0

xc

3 4

1

; yc

2 3

4

; zc

7 6

7

; C

1

;

4

;

7

.

3 2 2

3 2 9

3 2 9

2 9 9

Лекция № 13. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Зададим

в

пространстве

кусок

гладкой

поверхности

F x, y,z 0

и

вектор-функцию

a P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k ,

определенную

во

всех

точках куска поверхности (рис. 1).