Материал: 2216

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Рис. 1

F x, y,z 0

Поверхность

–

гладкая,

если

существует и

непрерывна производные

в любой точке поверхности,

причем одновременно не обращаются в нуль.

Проделаем следующие операции:

1. Разобьем кусок поверхности на n произвольных участков

с площадями i

, max i .

На каждом

участке

выберем

произвольную

точку

Mi xi, yi,zi и рассмотрим на каждом участке два вектора:

a M

P x , y

i Q x , y

j R x

, y

k , ni

где

–

нормальный

вектор

точке

Mi , единичный

вектор

нормали.

Mi i

Mi j

Mi k;

ni cos i

i cos i

j cos i k,

где i ni Ox, i ni Oy, i ni Oz. 3. Составим интегральную сумму:

n	n
ai ni i	P xi, yi ,zi cos i Q xi, yi ,zi cos i

i 1 i 1R xi, yi,zi cos i i .

Тогда lim a		n		def
			i
n	i	i

P x, y,z cos Q x, y,z cos R x, y,z cos d

ai ni d .

(1)

Физический смысл поверхностного интеграла

Пусть вектор a x, y,z задает скорость течения жидкости через поверхность F , тогда интегральная сумма приближенно определяет объем жидкости через кусок поверхности F в единицу времени в направлении нормали к поверхности (рис. 2). Действительно, поток через элементарную поверхность определяем, как

i Прni i H i Прniai i

ai	,ni	a		,n		.
		a		,n		.
			i	i	i
	n
	n
	i

Рис.2

Переходя к пределу, получим

ai ni d ,

который определяет поток жидкости через кусок поверхности F

со скоростью течения a x, y,z .
Вычисление интеграла.		Пусть кусок поверхности F задан
уравнением	F x, y,z 0,	которое	однозначно разрешимо
относительно	любых неизвестных,		n cos cos cos –

единичный вектор нормали, т.е. уравнение можно представить в следующих трех равносильных формах:

z f x, y y g x,z x h y,z .

(2)

Dyz

d yz

d xz	n
	n
Dxy

0	y

d xy

x Dxy

Рис. 3

Геометрически это означает, что прямые, параллельные осям координат, пересекают поверхность равно в одной точке. Спроецируем поверхность на все три координатные плоскости

(рис. 3).

Получим на них плоские области Dxy, Dyz, Dxz . Если

элементарную площадку d (площадка лежит на плоскости, касательной к поверхности) спроецировать на координатные плоскости, то:

d xy dxdy; d xz dxdz; d yz dydz;

d xy d cos ;

d yz d cos ;

d xz d cos ,

(3)

здесь «плюс» – если угол острый, «минус» – если угол тупой, Из формул (1), (2) и (3) следует, что поверхностный интеграл

сводится к трем двойным:

ai ni d P x, y,z cos Q x, y,z cos R x, y,z cos d

P x, y,z cos d Q x, y,z cos d R x, y,z cos d

d yz

d xz

d xy

R x, y, f x, y dxdy Q x,g x,z ,z dxdz P h y,z y,z dydz.

Dxy Dxz Dyz

Пример.
Вычислить ai ni	d , где F кусок плоскости x 2y 2z
F
2 0, вырезанный первым октантом a yi xj zk (рис. 4).
	z
	B	1
	B	n
		C
	A	1	y
x	A
x	2	Рис. 4
		Рис. 4

AC x 2y 2 0;

AB x 2z 2 0;

BC y z 1 0;

0 x 2;

0 y 1;

0 x 2;

2 x

Dyz :

2 x

Dxy :

Dxz :

0 y

;

0 z 1 y;

0 z

или

0 y 1;

0 z 1;

0 x 2 2y;

0 x 2 2z.

ai ni d

y cos ni Ox xcos ni Oy zcos ni Oz

2 x 2y

dxdy xdxdz ydydz

Dxy

Dxz

Dyz

2 2y

2 2z

1 y

2 x 2y

dx dz xdx ydy dz

1 y

dy 2 1 z dz y 1 y dy

1 y 3 1			y2			y3 1			1	1	7
3								1				.
	3			2					2
		0			3		0			3	6

Лекция № 14. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

	Основной формулой	интегрального исчисления функции
y f x является формула Ньютона-Лейбница
	b
	f x dx F b F a ,
	a
где		вычисление интеграла сводится к
где	f x F x , т.е.	вычисление интеграла сводится к

вычислению значений первообразной на концах отрезка a,b . Для функции многих переменных интегралы по плоским и

пространственным областям сводятся к интегралам по границам этих областей.

1. Формула Грина.

Пусть задана плоская правильная область D (рис. 1), граница которой является гладкой кривой D, и функции P x, y и Q x, y имеют в области D и на границе D непрерывные частные производные по x и y, тогда имеет место формула Грина (положительное направление выбирается против хода часовой стрелки):

	Q	P			P x, y dx Q x, y dy.
			dxdy

	x	y
D				D

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о

yy 2 x

	A			D		B
	A			D		B




			y 1 x

0		a			b	x

Рис. 1

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры