Материал: 2216

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

a x b;

x .

dxdy

;

2 x

dxdy dx

dy dx P x, y

1 x

P x, 2 x dx P x, 1 x dx

P x, y dx

P x, y dx.

P x, y dx

B A

A B

Аналогично, представив область D:

c y d;

y ,

получим

x dxdy Q x, y dy.

D D

Тогда

Q x, y dy

P x, y dx

dxdy

P x, y dx Q x, y dy,

что и требовалось

доказать.

Вывод. Формула Грина позволяет вычислять криволинейные интегралы 2-го рода (на плоскости) по замкнутому контуру, сводя их к двойным.

Пример.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по заданной плоскости (рис. 2), сведя его к двойному интегралу

x y2 dx y x2 dy

Рис. 2

P x, y x y2 ; Q x, y y x2.

2x;

2y.

0 x 1;

x y x.

Pdx Qdy

dxdy

– формула Грина.

dx y x2 dy 2x 2y dxdy

x y2

y2 x

x3 1

2 dx x y dy 2 dx xy

4 x

dx 4

2 x

С другой стороны, площадь замкнутого контура можно определить при помощи криволинейного интеграла по его границе

(рис. 3), согласно формуле S 12xdy ydx.

S 1 xdy ydx

2 C

Рис. 3

2. Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть задана пространственная область V , ограниченная

гладкой поверхностью V

и пусть функции

P x, y,z , Q x, y,z ,

R x, y,z

и их

производные

– непрерывны как

внутри области V , так и на поверхности V , тогда имеет место

формула Остроградского-Гаусса

Pcos Qcos Rcos d ,

(2)

где n cos ,cos ,cos

–

единичный

вектор нормали к

поверхности V , направленный во внешнюю сторону области

V (рис. 4).

Спроецируем область V на плоскость Oxy и докажем, что

			R
			R
				dV Rcos nOZ d .
			z	dV Rcos nOZ d .
		V				V
нижний кусок V F1, верхний – F2 :
		z						n
		z						z 2 x, y
		k			n		n	z 1 x, y
					n		n

		i			j			y
		x						d xy
								d xy
						Рис. 4
	R			2 x		R		d xy R x, y,z	2 x
		dV d xy					dz		1 x
	z	dV d xy					dz		1 x
V	z	D			x	z		D
		xy		1				xy

R x, y, 2 x, y d xy R x, y, 1 x, y d xy

Dxy


R x, y,z cos nOz d	R x, y,z cos nOz d
F2	F1

R x, y,z cos nOz d .

Аналогично, проецируя на плоскость Oxz докажем, что

Q dV Qcos nOy d .

V V

Проецируя на плоскость Oyz имеем

P dV Pcos nOX d (2).

V V

Вывод. Формула Остроградского-Гаусса позволяет сводить поверхностный интеграл по замкнутой поверхности к тройному интегралу по пространственной области.

Пример.			иначе ai ni d ,
Вычислить ycos xcos zcos d ,
		V	V
где a yi x j zk . Область V задается			координатными

	Q	R
P

плоскостями и плоскостью x 2y 2z 2 0 (рис. 5).

y 2z 2 0

x 2

Рис. 5


													0 y 1;
												D:	0 x 21 y ;
																			2 x 2y
															0 z				2 x 2y
																										;
																								2		;
ai ni																								2
ai ni			d ycos xcos zcos d
V						V
		P				Q				R						0 0 1 dx

												dx
	V	x				y				z					V
											2 1 y				2 x 2y										2 1 y
								1			2 1 y				2					1			1		2 1 y
dxdydz dy												dx			dz					1		dy			2 x 2y dx
dxdydz dy												dx			dz					2		dy			2 x 2y dx
	V							0			0				0								0		0
	1	1					x2					2 1 y					1	1									2
		dy 2x							2xy									4 1 y 2 1 y 4y 1 y												dy
	2	dy 2x					2		2xy								2	4 1 y 2 1 y 4y 1 y												dy
		0										0						0
	1			1 y 2							1 y 3			2y			2	4			y		3	1	1			4			1
		4						2																			2 0 2		2 1
	2	4			2			2			2																2 0 2	3	2 1
	2				2						2							3						0	2			3			3

V 1. 3

3. Формула Стокса.

Пусть задан кусок гладкой поверхности с краем ( – замкнутая пространственная кривая). Если функции P x, y,z , Q x, y,z и R x, y,z и их частные производные по всем аргументам непрерывны как по поверхности , так и на границе, то имеет место формула Стокса:

cos nOx

cos nOy

cos nOZ d

Pdx Qdy Rdz.

(3)

Без доказательства.

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры