Материал: 2216

Выражение для n -го члена ряда при произвольном n называется общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда.

Чаще всего общий член ряда задается формулой un f u , пользуясь которой можно сразу написать любой член в ряд.

Например, если un 1 , то ряд имеет вид

2n

1 1 1 1 . 2! 3! n!

Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущими. При этом задаются несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся члены ряда. Например, пусть

Фибоначчи

или u1 u2 1; un un 1 un 2; 1 1 2 3 5 8 13 21 .

Пусть дан ряд u1 u2 un . Сумму первых n его членов обозначим через Sn :

Sn u1 u2 un ,

и назовем n-й частичной суммой ряда. Образуем теперь последовательность частичных сумм ряда:

S1 u1;

S2 u1 u2;

S3 u1 u2 u3;

;

Sn u1 u2 un;

С неограниченным увеличением числа n в сумме Sn учитывается все большее и большее число членов ряда. Поэтому

суммой.

Записывается это так: S u1 u2 un .

Если последовательность Sn не стремится к пределу, то ряд называется расходящимся.

Отметим, что ряд может расходиться в двух случаях:

1)если Sn ;

2)если последовательность Sn – колеблющаяся, т.е. когда нет

предела ни конечного, ни бесконечного, например Sn 1 n. В обоих этих случаях говорят, этот ряд суммы не имеет.

Пример.

Рассмотрим сумму членов бесконечной геометрической прогрессии: a aq aq2 aqn 1 .

Сумма n первых членов прогрессии равна

геометрической прогрессии образует сходящийся ряд, сумма

расходится.

Пусть q 1. Ряд a a a a 0 , Sn na, lim na .

n

Если же q 1, то получается ряд a a a a .

Его частичные суммы S1 a, S2 0, S3 a, S4 0 и т.д., то есть Sn – колеблющаяся последовательность, ряд – расходится.

Таким образом, бесконечно геометрическая прогрессия образует ряд, которых сходится при q 1 и расходится при q 1.

В рассмотренном примере мы устанавливали сходимость или расходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости и неизвестной формулой для n-й частичной суммы. Однако в большинстве случаев этим путем идти нельзя, т.к. очень трудно найти предел Sn. Поэтому при выяснении сходимости ряда пользуются признаками сходимости. Сделаем предварительно несколько замечаний относительно сходящихся рядов.

Рассмотрим сходящийся ряд S u1 u2 un . Разность между суммой ряда и его n-й частичной суммой называется n-м остатком ряда. Остаток ряда есть, в свою очередь, сумма бесконечного ряда, обозначим её через rn . Имеем

rn S Sn un 1 un 2 .

как угодно мала, если только число n взять достаточно большим. Таким образом, имеется возможность подсчитать приближенно сумму ряда, взяв достаточно большое число первых членов. Однако трудность заключается в выяснении величины возникающей ошибки. В дальнейшем на частных примерах мы рассмотрим, как иногда можно оценивать величину ошибки и тем самым устанавливать, сколько нужно брать членов ряда, чтобы получить сумму его с заданной точностью.

Приведем теперь простейшие свойства сходящихся рядов.

Т е о р е м а 1. Если ряд u1 u2 un сходится и имеет сумму S , то ряд, образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и то же число : u1 u2 un , тоже сходится и имеет сумму S .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Для доказательства обозначим через Sn – n-ю частичную сумму первого ряда, через n – второго. Итак,

n u1 u2 u3 un Sn .

Д о к а з а т е л ь с т в о ПустьSn и Sn – n-е частные суммы. Тогда

n u1 1 un n Sn Sn ;

С л е д с т в и е. u1 1 u2 2 un n S S .

Т е о р е м а 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Пусть дан сходящейся ряд u1 u2 un и мы отбросили конечное число членов u2, u8, u10, u15 . Чтобы не менять нумерацию считаем, что их место заняли нули. Тогда при n 15 частичные суммы будут отличаться друг от друга на постоянное слагаемое u2 u8 u10 u15. Существует предел одной из частичных сумм, следовательно, существует предел другой, причем они отличаются на u2 u8 u10 u15 .

С л е д с т в и е. Если сходится ряд, то сходится и любой его остаток, и наоборот.

2. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический

ряд.

Т е о р е м а (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Поскольку предел суммы равен сумме пределов, запишем

С л е д с т в и е (достаточный признак расходимости ряда). Если un 0, то ряд не может быть сходящимся, он расходящийся.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Докажем, что Sn при n . Для доказательства заменим некоторые члены ряда меньшими числами и убедимся, что даже сумма меньших слагаемых будет стремиться к бесконечности. Выпишем несколько первых членов гармонического ряда, разбив их на группы следующим образом:

Заменим все слагаемые в скобках последним:

Сумма слагаемых уменьшилась и стала равной 1. Поскольку

2

таких скобок можно брать сколько угодно, сумма их будет . Таким образом, сумма меньших слагаемых , значит, сумма больших слагаемых, представляющих собой гармонический ряд, и подавно.