Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам


	i	j
rota
rota	x	y
	x	y
	u	u
	x	y

y z

x z

z y

x y

2	u	2		u
						, т.к. частные производные отличаются

x y					k 0
			y x

только порядком интегрирования.

Достаточность. Пусть rota 0, тогда для любого

замкнутого контура в векторном поле (формула Стокса)

a dr rota nd 0 a dr 0

Pdx Qdy Rdz 0 Pdx Qdy Rdz du

P	u	;Q	u	; R	u	– поле потенциальное.

	x		y		z

В силу свойства 30 потенциальное поле называется безвихревым.

З а м е ч а н и я: 1. rot gradu 0.

2.Свойство 10 , позволяет по заданному градиенту

восстановить потенциал поля, т.е. по частным производным

;

восстановить функцию u x, y,z (рис. 3).

x y

M x, y,z

M0 x0, y0,z0

M x, y0,z0

M x, y,z0

Рис.3

Пусть задан

a grada Pi Q j Rk , где

;

Возьмем фиксированную точку M0 x0, y0,z0

и любую

точку пространства M x, y,z .

a dr

du u M u M0 u x, y,z C ,

M0M

т.е. потенциал восстанавливается с точностью до const. Поскольку линейный интеграл не зависит от пути интегрирования, возьмем его по прямым (рис. 4):

M x, y,z

M0 x0 , y0 ,z0


M1 x, y0 ,z0		M2 x, y,z0
		Рис. 4
		Рис. 4

на M0M1 : y и z		– const; M1M2 : x и z		– const; M2M : x и y –
a dr		const.
a dr	Pdx Qdy Rdz		P x, y,z dx		Qdy	Rdz
M0M	M0M		M0M1		M1M2	M2M
	x	y		z
P x, y0,z0 dx Q x, y,z0 dy R x, y,z dz.
	x0	y0		z0

Пример.

Задано векторное поле

a x, y,z x2 2yz i y2 2xz j z2 2xy k .

Показать, что оно является потенциальным и восстановить потенциал.

1. Находим rota:

	i	j	k
rota
rota	x	y	z
	x	y	z
	P	Q	R

k ;

2x 2x 0;

2y 2y 0;

2z 2z 0 rota 0 – поле потенциальное.

2xz0 dy

Pdx Qdy Rdz x2

2y0z0 dx y2

2xy dz

2y0z0x

2xz0 y

2xyz

2y0z0x

2y0z0x0

2xz0 y

2xz0 y0

2xyz

2xyz0

2xyz C.

2xyz C

Соленоидное векторное поле

Определение. Поле называется соленоидным, если его

векторы являются rot другого векторного поля, т.е. a x, y,z rotb x, y,z ,

вектор b называется вектором потенциалом поля a.

Свойства соленоидного (соленоидального, трубчатого) поля

10 . Для того, чтобы	поле a Pi Q j Rk было
соленоидным, необходимо и	достаточно, чтобы diva 0. Без
доказательства.
20. Внутри каждого объема в соленоидальном поле нет ни
источников, ни стоков.
a nd divadV 0.
V	V

Следовательно, внутри V нет ни источников, ни стоков. Иначе поток вектора в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же, т.е. в поле без источников через каждое сечение векторной трубки (часть пространства, ограниченная векторными линиями) протекает одно и то же количество жидкости (рис. 5).

n S0

		Рис. 5
		ds		ds.

	a n		a n

s0		s

Пример.

Показать, что векторное поле

			z
a	x, y,z xyi yz j	z y		k
a	x, y,z xyi yz j	z y	2	k
			2

является соленоидным.

diva P Q R y z y z 0 – соленоидное поле.

x	y	z
Лапласовы векторные поля (гармонические)
Определение.		Векторное	поле,	которое	является

одновременно и потенциальным, и соленоидным, называется

гармоническим или лапласовым полем.

Свойства

10 . В любой точке гармонического поля diva 0

и rota 0.

20. Поскольку поле потенциальное, то оно является полем

grad некоторого потенциала u x, y,z , т.е. a

k , а

поскольку оно соленоидное, то div a

т.е.

потенциал гармонического поля должен удовлетворять дифференциальному уравнению

2u	2u	2u	0	.
x2	y2	z2

(1)

Уравнение (1) называется уравнением Лапласа, а функции u x, y,z , удовлетворяющие уравнению (1), – гармоническими.

Лекция № 17. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1. Ряд. Сумма ряда.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел u1,u2, ,un, .

Определение. Выражение u1 u2 un называется

рядом, а u1,u2, ,un, – членами ряда.

Коротко ряд записывается так: un .

n 1

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры