Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

тела из A1 в A2 по A1A2 . Эта работа называется линейным интегралом векторного поля вдоль A1A2 :

A	Pdx Qdy Rdz	adr .
	A1A2	A1A2

(7)

Линейный интеграл вдоль замкнутого контура, называется

циркуляцией по этому контуру:

Pdx Qdy Rdz adr .

e		e
(8)
Возьмем любую точку M0 x0, y0,z0 и направление, заданное
единичным вектором e,	e	1. Окружим точку M0 (рис. 6)
единичным вектором e,	e	1. Окружим точку M0 (рис. 6)

плоской площадкой с площадью S , перпендикулярной e, согласуем направление на контуре s этой площадки с e (правый винт).

	rota
	a
s	e
	M0

Рис. 6

Вычислим в любом направлении e в точке M0 скалярную

adr

величину lim	s		, где S – площадь площадки. Эти скаляры

s 0		S

позволяют построить в любой точке вихревой вектор (ротор) rota, считая, что

adr

Прerota lim s .

s 0 S

(9)

Те о р е м а 2. Если функции P x, y,z , Q x, y,z , и R x, y,z

иих частные производные непрерывны в точке M и её окрестности, то

rota a

(10)

R Q

P R

Q P

k .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Пусть rota xi y j zk .

adr

z Пр rota lim

s 0

s – контур прямоугольника ABCD с центром в точке M ,

плоскость ABCD k , на контуре z z0

const (рис.7).

Формула Грина

Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy

x0 , y0 ,z0

Рис. 7

Тогда

adr

Теорема осреднем

z lim

lim

s 0 S

s 0

Аналогично,

выбирая

площадки

через точку M i

и j ,

получим:

x Прi rota

;

y Прjrota

Пример.

Найти rota

	i	j
rota
rota	x	y
	x	y
	P	Q

в точке M 1, 1,2 ; a

(рис. 8).

k ;

P z ; P y ; Q z ; Q x ; R y ; R x ;

y x

z y

M 2;

M 1;

M 2;

M 1;

;

rota

1 i

2 2 k

j 4k .

rot a

M 1, 1,2

Рис. 8

З а м е ч а н и е. Выражение rota позволяет компактно записать формулу Стокса

rota nd a dr .

идать следующую формулировку теореме Стокса.

Те о р е м а Стокса. Циркуляция вектора a по замкнутому

контуру

равна потоку вихревого вектора rota через

произвольную поверхность , имеющую своей границей контур

(рис. 9).

rota

Рис. 9

rota – аналог угловой скорости вращения .

Лекция № 16. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (окончание)

Потенциальные векторные поля

Определение. Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторой скалярной функции u u x, y,z , т.е.

	x, y,z	u		u		u
a			i		j		k .
a		x	i	y	j	z	k .
		x		y		z

a x, y,z gradu.

Свойства потенциальных полей

10 . Линейный интеграл потенциального поля не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от конечных точек пути

(рис. 1), т.е.

a dr u M2 u M1 .

M1M2

			M1			M2
			M1
			Рис.1
			Д о к а з а т е л ь с т в о
a dr		Pdx Qdy Rdz				u	dx	u	dy	u	dz
a dr		Pdx Qdy Rdz					dx		dy		dz
M M	2	M M	2	M M	2	x		y		z
1	2	1	2	1	2

du u M2 u M1 .

20. Циркуляция по любому замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, т.е. a dr 0 (рис. 2).


		Д о к а з а т е л ь с т в о
Пусть – замкнутый контур. Возьмем любую точку M1,
M2 .
		M1
		M1

			Рис.2
				M2	M1
				d d
a	dr	adr	adr	d d
		M1 M2	M1 M2	M1	M2

M2 M1 M1 M2 0.

30. Для того, чтобы векторное поле, заданное вектором a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k ,

было потенциальным, необходимо и достаточно, выполнение следующие условия: rota 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Необходимость.	Пусть			векторное				поле a x, y,z является
		u			u		u
потенциальным, т.е. a			i			j		k .
		x			y		z

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры