Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

упрощения нумерации членов удобнее считать, что un 0, т.е. что среди членов ряда есть равные нулю.

Исследование сходимости таких рядов значительно облегчается следующим простым предложением.

Л е м м а. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху: Sn M , то ряд сходится (это не распространяется на ряды с произвольными членами: a a a a ; а 0 ; Sn a, но ряд расходится).

Д о к а з а т е л ь с т в о Т.к. все члены ряда положительны, то частичные суммы по

мере возрастания числа членов только возрастают:

S1 S2 Sn .

Но если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то по признаку сходимости Вейерштрасса она имеет предел, также не превосходящий числа М. Следовательно,

lim Sn S ; S M . И обратно, если ряд с положительными

членами сходится, то его частичные суммы ограничены сверху и меньше суммы ряда Sn S.

Из доказанной леммы следуют признаки сравнения для рядов с положительными членами.

Лекция № 18 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ (окончание) Признаки сходимости ряда

Признаки сравнения.

Пусть даны два ряда с положительными членами:


uk u1 u2 un ,	un 0
k 1
(1)
и

k 1 2 n ,	n 0,
k 1

(2)

пусть каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), то есть

uk k ;	k 1,2, .
(*)

Тогда:

1)если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1),

2)если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

До к а з а т е л ь с т в о

Докажем сначала первую часть. Положим Sn uk ,

	n						k 1
	n
n	k , т.к. ряд (2)			по условию сходится, то n			, а из
	k 1
условия (*) следует, что				лемма
	S			лемма		S .
	S	n	n	lim S	n	S .
		n	n	n	n
	Для доказательства второй части заметим, что поскольку ряд

(1) расходится, его частичные суммы неограниченно возрастают,

Sn , т.к. n Sn, то и n .

З а м е ч а н и е. Признаки сравнения применимы и в том случае, когда условию (*) удовлетворяют члены ряда не при всех

n, а лишь начиная с некоторого

n N

(свойство 3

сходимости

рядов).

Примеры.

1. Делаем,

что ряд 1

будет расходящимся.

Для

этого

достаточно сравнить

его

гармоническим

рядом

т.к.

при n 1

и гармонический ряд

расходится, то расходится и данный.

Определить

сходимость

ряда

Члены

данного ряда

меньше

3 23

n2n

2 2 22

членов

ряда

состоящего

из

членов

убывающей геометрической прогрессии. Поэтому данный ряд сходится.

З а м е ч а н и е. Однако трудность применения признаков сходимости заключается в необходимости подбора другого ряда, а это не всегда просто.

Перейдем к установлению признака, который позволит в достаточно большом числе случаев устанавливать сходимость ряда исходя только из выражения для его членов.

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами

u1 u2 un un 0 . (**)

Если при n существует предел отношения последующего

члена к предыдущему un 1 , равный : un

lim un 1 ,

n un

то при 1 ряд сходится, при 1 ряд расходится, а при 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Д о к а з а т е л ь с т в о Делаем для 1. В силу определения предела всегда можно

выбрать такое число N, что при всех n N будет справедливо

неравенство		un 1	, где 0 берется настолько малым,

		un	1
				uN 1		uN 2		uN 3
чтобы	1. Тогда				,		,		и т.д.
				uN
1					1 uN 1		1 uN 2		1

Мы имеем:

uN 1 1uN ;

uN 2 1uN 1 12uN ;

uN 3 1uN 2 13uN ;

Отсюда вытекает,	что члены	ряда uN 1	uN 2 uN 3 ,
представляющего N-й	остаток	данного	ряда, меньше

соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1uN 12uN 13uN (знаменатель её 1 1).

Следовательно, N -й остаток ряда сходится, но тогда сходится и сам данный ряд.

Примеры.

n 1

1. Рассмотрим ряд n 1

. Здесь un

, un 1

. Поэтому

2n 1

lim

n 1

lim

n 1

1 – сходится.

n 2n 1

2 n n

2. Возьмем ряд

. Для него

n 1

n 1 n

n 1

при n независимо от показателя p. При p 1 получается гармонический ряд – расходится, при p 2 – ряд обратных квадратов – сходящийся. Так что при p 1 вопрос открыт!

Признак Коши.

Если для ряда с положительными (неотрицательными) членами

u1 u2 u3 un

(***)

величина n un имеет конечный предел при n , т.е. lim n un ,

то:

1)в случае 1 ряд сходится;

2)в случае 1 ряд расходится. Без доказательства.

Пример.

Исследовать сходимость ряда:

1	2	2	3	3

3	5		7

Применяя признак Коши имеем:

		n	n
lim n un
	lim n
		2n 1
n	n

Ряд сходится.

2n 1

lim	n		1	1.

n 2n 1		2

Интегральный признак Коши.

Приведем еще один признак, который позволяет иногда дать ответ в тех случаях, когда признак Даламбера неприменим. Этот признак основан на сравнении данного ряда с несобственным интегралом от функции f x , значения которой при целых

значениях аргумента дают последовательно		члены		ряда
u1 f 1 , u2 f 2 , ,un f n .
Т е о р е м а. Пусть дан ряд u1 u2 un , un				0 ,
члены которого являются значениями непрерывной функции				f x
при целых значениях аргумента x, и	пусть f x		монотонно
убывает в интервале 1, . Тогда ряд сходится,		если сходится

несобственный интеграл f x dx, и	расходится,		если	этот
1
интеграл расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линией

y f x , с основанием от x 1 до x n, где n произвольное целое положительное число (рис.1).

y f x

2 3

n 1

Рис. 1

Площадь её измеряется интегралом Jn f x dx.

Отметим

целые

точки

основания

x 2,

x n 1,

x 1,

x n.

Рассмотрим две ступенчатые фигуры: одна (входящая) имеет

площадь	Sn u1,	другая				выходящая	Jn un,	где
Sn u1 u2	un .	Тогда	имеем Sn u1 Jn				Sn un ,	отсюда
получаем два неравенства
		S	n	J	n	u ;		(a)
			n		n	1		(á)
		Sn		Jn		u1.		(á)

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры