Материал: 2216

Отметим некоторые важные свойства мажорируемых рядов (без доказательства).

Т е о р е м а 1. Пусть функциональный ряд u1 x u2 xun x мажорируем на отрезке a,b . Пусть S x – сумма этого

ряда, Sn x – сумма первых n членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа 0 найдется положительное число N такое, что при всех n N будет выполняться неравенство S x Sn x , каково бы ни было x из отрезка a,b .

Проиллюстрируем это геометрически (рис. 1). Рассмотрим график функции y S x . Построим около этой кривой полосу

свойством (не обязательно мажорируемый), называется

равномерно сходящимся рядом на отрезке a,b .

Т е о р е м а 2. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке a,b , есть функция, непрерывная на этом отрезке.

З а м е ч а н и е. Из теоремы 2 следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке a,b разрывна, то ряд не мажорируем на

x

F t dt u1 x u1 u2 x u2 un x un .

Но по условию

S x u1 x u2 x un x ;

S u1 u2 un ,

F t dt S x S . Дифференцируя по x обе части последнего

равенства, получим F x S x что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е. Требование мажорируемости ряда производных является весьма существенным. Покажем это на примере:

Лекция № 20. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Определение. Степенным рядом называется функциональный

которого суть произведения постоянных a0,a1,a2, ,an, на степенные функции с целыми неотрицательными показателями от разности x x0.

Постоянные a0,a1,a2, ,an, называются коэффициентами степенного ряда. В частности, если x0 0, то получим

a0 a1x a2x2 anxn ,

(*)

т.е. ряд, расположенный по степеням x. Будем рассматривать именно такие ряды, а подстановка x x x0 преобразует всякий степенной ряд к виду (*).

Для удобства n-м членом степенного ряда называют член anxn, несмотря на то, что он стоит на n 1 -ом месте. Свободный член ряда a0 считают нулевым членом ряда. Рассмотрим наиболее важные свойства степенных рядов.

Те о р е м а Абеля. Если степенной ряд (*) сходится при

xx1 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всяком x

лежащем в интервале x1 , x1 , т.е. удовлетворяющем условию

x x1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Так как anx1n сходится, то его общий член anx1n 0,

n 1

поэтому

все члены этого ряда ограничены, т.е. существует M 0, что при любом n имеет место anx1n M .

Запишем ряд (*) так:

и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:

В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со

знаменателем x 1, значит, сходящейся. x1

Поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Несмотря на то, что anxn anx1n , мы не можем воспользоваться признаком сравнения, т.к. в условии теоремы не сказано, что в точке x x1 ряд (*) сходится абсолютно.

С л е д с т в и е. Если степенной ряд (*) расходится при x x1, то он расходится и при всяком x, большем по абсолютной величине, чем x1, т.е. при x x1 . От противного.

Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Здесь возможны три случая:

1) Область сходимости состоит только из одной точки x 0, т.е. расходится всюду, кроме x 0, например:

1 x 22 x2 nnxn ;

действительно при фиксированном x, начиная с достаточно большого n будет nx 1 nnxn 1, т.е. общий член ряда не

стремится к нулю.

2) Область сходимости состоит из всех точек оси Ox, т.е.

то начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, ряд сходится при любом x.

3) Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ox, причем есть точки оси, не принадлежащие области

В третьем случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки расходимости.

Из теоремы Абеля и её следствия вытекает, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для