Материал: 2216

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член 0, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции, в частности, можно пользоваться такой теоремой.

Т е о р е м а.

Если в некотором интервале точки x a,

абсолютные величины всех производных функции

f x

ограничены одним и тем же числом, то функция

f x

в этом

интервале разлагается в ряд Тейлора.

Д о к а з а т е л ь с т в о

и R

Для каждой из элементарных функций существуют

такие, что в интервале a R,a R

она разлагается

ряд

Тейлора или (если a 0) в ряд Маклорена.

Примеры.

1. f x sin x. Ранее мы получили формулу

n 1

x2n 1

sin x x

x .

3! 5!

2n 1 !

Было доказано

также,

что lim R

x 0,

тогда получаем

разложение sin x в ряд Маклорена:

x2k 1

k 1

sin x x

2k 1 !

(5)

Так как остаточный член 0 при x, то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию sin x при x.

Этим рядом пользуются для вычисления значений sin x при различных значениях x.

Например, вычислить sin10 с точностью до											10 5.
		10				0,174533, то
		10				0,174533, то
				18
			1		3		1	5	1			7
sin10												.
sin10	18		3!						7!			.
	18		3!	18			5! 18		7!	18

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получим

			1		3
sin					.
	18	18	0	18

Определим погрешность

	1		5	1		0,2 5	4 10 6.

	5!
		18		120
В результате значение sin10					с точностью до 10 5 выразится

числом 0,173647, или

sin 0,173647. 18

2. f x ex . Формально имеем:

ex 1 x

(6)

lim R

x 0, x, так как

M . Заменить x на x, получим

n n

e x 1 x

1 n

(7)

f x cosx.

x2n

cos x 1

2n!

(8)

сходится при x , .

4. f x sh x

ex e x

;

f x ch x

ex e x

Разложение этих функций легко получается путем вычитания

или сложения рядов (2) и (3) и деления на два:

sh x x

2n 1

;

2n 1 !

(9)

ch x 1

2n!

(10)

5. Разложим в ряд Маклорена функцию

fx 1 x m, m R.

За м е ч а н и е. xm не рассматриваем потому, что если m не целое положительное число (а только такой случай и интересен),

то производные от	xm,		начиная с некоторой в точке x 0, не
существует.							x 0 m,
Итак, f 0 1,					1 x	m 1

	f 0 m
f 0 m m 1 1 x		m 2		x 0	m m 1 , ,

f n 0 m m 1 m n 1 1 x m n x 0 m m 1 m n 1,

Следовательно,

1 x m 1 mx m m 1 x2 m m 1 m n 1 xn . 2! n!

Установим область сходимости ряда. Найдем предел абсолютной величины отношения последующего члена к предыдущему:

lim

m m 1 m n 1 m n

xn 1 :

m m 1 m n 1

n 1 !

m n

lim

n 1

Согласно признаку Даламбера ряд сходится, если

1, и

расходится, если

1. Доказательство того,

что ряд сходится

именно к рассматриваемой функции, вследствие его сложности опустим.

Итак, биномиальный ряд представляет функцию 1 x m в интервале 1,1 .

1 x m 1 mx m m 1 x2 m m 1 m n 1 xn . 2! n!

(11)

За м е ч а н и е. Если m – целое положительное число, то ряд

(11)обращается в формулу бинома Ньютона, если m 0, то ряд

сходится к 1 x m на отрезке 1,1 .

Частные виды биномиального ряда

1)m 1.

11 x x2 x3 1 n xn , x 1,1

–геометрическая прогрессия.

2) m 1 .


2		1		1			1 3				1 3 5
						2				3			4
1 x 1			x		x	2			x	3		x	4
1 x 1		2	x	2 4	x		2 4 6		x		2 4 6 8	x
		2		2 4			2 4 6				2 4 6 8
1 n 1	1 3 5 2n 3							xn ,			x 1,1 .
1 n 1								xn ,			x 1,1 .
		2 4 6 8 2n

3) m 1.

1 1 1 x 1 3 x2 1 3 5 x3 1 n 1 1 3 5 2n 1 xn ,
1 x	2	2 4	2 4 6	2 4 6 2n

x 1,1 .

f x ln 1 x .

Воспользуемся свойствами

степенных

рядов.

1 x x2 x3

1 n xn , x 1,1 .

(*)

1 x

1 n xn .

1 x

n 0

Проинтегрируем ряд (*) в пределах от 0 до x.

Т.к.

ln 1 x

ln 1 x , то

интегрируя

почленно

1 x

кривую часть ряда (*), получим

ln 1 x x

1 n 1

, x 1,1 .

(12)

7. Совершенно аналогично получается разложение функции f x arctg x в ряд Маклорена.

Для этого заменив в ряде (*) x на x2, получим:

1 x2 x4 x6 1 n x2n , x 1,1 .

1 x2

(**)

Интегрируя в пределах от 0 до x и считая, что

1 имеем:

arctgx x

1 n 1

x2n 1

x 1,1 .

2n 1

(13)

З а м е ч а н и е 1. Можно доказать, что разложение (13) верно

и при x 1. Так, arctg1	1	1		1		1	.

4	3		5		7

За м е ч а н и е 2. Разложения (5), (6), (8), (11)-(13) следует запомнить, т.к. многие другие функции могут быть разложены в ряды при помощи них (например, (7), (9),(10)).

За м е ч а н и е 3. Полезно самостоятельно найти разложение функции f x arcsin x в ряд Маклорена.

Лекция № 22. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА

I. Интегрирование функций

1. Допустим, что нужно найти интеграл F x f x dx,

причем известно разложение подынтегральной функции f x	в
ряд Тейлора, а пределы интеграла лежат внутри интервала
сходимости ряда. Тогда ряд можно интегрировать почленно.	В

результате получится ряд Тейлора для функции				F x , имеющей
тот же	радиус	сходимости, что	и ряд для подынтегральной
			x
функции	f x .	Если интеграл	F x f x dx	выражается в

конечном виде, то F x элементарная и мы находим её разложение в ряд Тейлора. Именно так мы поступали при разложении функций ln 1 x , arctgx. Если же интервал

F x f x dx в элементарных функциях не выражается, то

найденный ряд может служить выражением неэлементарной функции F x через самые простые основные элементарные функции – степенные, но уже не конечным выражением, а бесконечным. Представление с помощью бесконечных рядов не хуже, а во многих отношениях значительно удобнее, чем их представление с помощью конечного числа основных элементарных функций.

Пример.

Источник: https://studfile.net/preview/16408273/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры