Материал: 2216

x, по модулю меньших R x R , ряд абсолютно сходится, а

для всех x, по модулю больших R x R , ряд расходится. Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (*)

называется такое число R, что для всех x, x R, степенной ряд сходится, а для всех x, x R, расходится. Интервал от x R до

x R называется интервалом сходимости.

З а м е ч а н и е. Что касается значений x R и x R, то здесь могут осуществляться различные возможности: ряд может сходиться в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно (позже рассмотрим примеры).

Для степенных рядов вида

a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n

центр интервала сходимости будет лежать не в точке x 0, или для (*), а в точке x x0, следовательно, интервалом сходимости будет x0 R, x0 R . Укажем способ отыскания радиуса сходимости степенного ряда.

Прежде всего отметим, что для нахождения радиуса сходимости можно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда,

a0 a1 x an x n ,

(**)

т.к. интервалы сходимости рядов (*) и (**) совпадают. Тогда к ряду (**), члены которого положительны, применим признак Даламбера.

Если, начиная с некоторого номера, члены ряда идут без пропусков, т.е. коэффициент ряда 0, то предел отношения последующего члена ряда к предыдущему можно записать в виде:

Для тех значений x , при которых этот предел будет меньше 1, ряд сходится, а для тех, при которых больше 1, ряд расходится. Отсюда следует, что то значение x , при котором этот предел равен единице, и будет являться радиусом сходимости ряда.

Может случиться, что найденный предел при любом x будет равен нулю. Это значит, что ряд (*) сходится при всех x и его радиус сходимости R . Наоборот, если при всех x 0 предел окажется равным бесконечности, то ряд будет всюду расходиться (кроме точки x 0) и его радиус сходимости R 0.

Примеры.

1. Найти радиус сходимости ряда

Отметим, что в силу необходимого признака общий член стремится к нулю: lim xn 0, при x. Это замечание пригодится

вдальнейшем.

2.Возьмем ряд 1 x x2 x4 .

интервала: при x 1 получаем расходящийся (т.к. гармонический),

требовалось доказать. Тогда на ряд (*) переносятся свойства мажорируемых функциональных рядов.

Сл е д с т в и е 1. Сумма степенного ряда (*) есть функция непрерывная в интервале сходимости ряда.

Сл е д с т в и е 2. Степенной ряд, полученный в результате

почленного интегрирования ряда (*), в интервале 0,x сходится

почленного дифференцирования ряда (*), сходится в интервале

или степенной ряд в интервале его сходимости можно дифференцировать почленно.

Применяя следствие 3 к первому произвольному ряду, найдем

т.д.

Итак, степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз.

Лекция № 21. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Ряд Тейлора и Маклорена. Известно, что для функции f x ,

имеющей все производные до n 1 -го порядка включительно, в окрестности точки x x0 (т.е. на некотором интервале, содержащем точку x x0) справедлива формула Тейлора:

(1)

где так называемый остаточный член Rn 1 x вычисляется по формуле

брать сколько угодно большим. Тогда, переходя к пределу при

(2)

Последнее равенство справедливо тогда и только тогда, когда

lim Rn x 0.

n

(3)

То есть условие (3) является необходимым и достаточным для того, чтобы ряд Тейлора сходился и имел своей суммой f x .

Достаточность: f x Pn x Rn x ,

сумма ряда (2), её предел равен сумме ряда, значит, равенство (2) справедливо.

данной функцией (хотя и может сходиться к другой функции). Если в ряде Тейлора положим a 0, то получим частный

случай ряда, который называют рядом Маклорена:

(4)

З а м е ч а н и е. Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд